小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题十八函数的零点问题(5)考点一确定复合函数零点的个数或方程解的个数【方法总结】确定复合函数零点的个数或方程解的个数问题：关于复合函数y＝f(g(x))的零点的个数或方程解的个数问题，先换元解套，令t＝g(x)，则y＝f(t)，再作出y＝f(t)与t＝g(x)的图像．由y＝f(t)的图象观察有几个t的值满足条件，结合t的值观察t＝g(x)的图象，求出每一个t被几个x对应，将x的个数汇总后即为y＝f(g(x))的根的个数，即“从外到内”．此法称为双图象法(元法＋形合换数结)．【例题选讲】[例1](1)奇函数f(x)，偶函数g(x)的图象分别如图(1)，(2)所示，函数f(g(x))，g(f(x))的零点个数分别为m，n，则m＋n＝()A．3B．7C．10D．14答案C解析由中函象知题数图f(±1)＝0，f(0)＝0，g＝0，g(0)＝0，g(±2)＝1，g(±1)＝－1，所以f(g(±2))＝f(1)＝0，f(g(±1))＝f(－1)＝0，f＝f(0)＝0，f(g(0))＝f(0)＝0，所以f(g(x))有7零点，即个m＝7．又g(f(0))＝g(0)＝0，g(f(±1))＝g(0)＝0，所以g(f(x))有3零点，即个n＝3．所以m＋n＝10，选择C．(2)关于x的方程(x2－1)2－3|x2－1|＋2＝0的不相同实根的个数是()A．3B．4C．5D．8答案C解析可将|x2－1|视为一个整体，即t＝|x2－1|，则方程变为t2－3t＋2＝0可解得，t＝1或t＝2，则只需作出t(x)＝|x2－1|的图像，然后统计与t＝1与t＝2的交点总数即可，共有5个．x2t=2t=1－111tO(3)已知f(x)＝则函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点个数是________．答案5解析由2[f(x)]2－3f(x)＋1＝0得f(x)＝或f(x)＝1，作出函数y＝f(x)的象．由象知图图y＝与y＝f(x)的象有图2交点，个y＝1与y＝f(x)的象有图3交点．因此函个数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点有5．个小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(4)已知定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝于则关x的方程6f2(x)－f(x)－1＝0的实数根个数为()A．B．C．D．答案B解析已知方程6f2(x)－f(x)－1＝0可解，得f1(x)＝，f2(x)＝－，只需统计y＝，y＝－与y＝f(x)的交点个数即可．由奇函数可先做出x>0的图像，x>2时，f(x)＝f(x－2)，则x∈(2，4]的图像只需将x∈(0，2]的图像纵坐标缩为一半即可．正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像．通过数形结合可得共有7个交点．xt=12t=－13tO在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间．【对点训练】1．已知函数y＝f(x)和y＝g(x)在[－2，2]的图像如下，给出下列四个命题：(1)方程f[g(x)]＝0有且只有6个根；(2)方程g[f(x)]＝0有且只有3个根；(3)方程f[f(x)]＝0有且只有5个根；(4)方程g[g(x)]＝0有且只有4个根．xOy－221－11－12－2y＝f(x)xOy－22－12－2y＝g(x)1则正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．41．答案C解析每个方程都可通过图像先拆掉第一层，找到内层函数能取得的值，从而统计出的总数．(1)中可得g1(x)∈(－2，－1)，g2(x)＝0，g3(x)∈(1，2)，进而g1(x)有2个对应的x，g2(x)有2个，g3(x)有2个，总计6个，(1)正确；(2)中可得f1(x)∈(－2，－1)，f2(x)∈(0，1)，进而f1(x)有1个对应的x，f2(x)有3个，总计4个，(2)错误；(3)中可得f1(x)∈(－2，－1)，f2(x)＝0，f3(x)∈(1，2)，进而f1(x)有1个对应的x，f2(x)有3个，f3(x)有1个，总计5个，(3)正确；(4)中可得g1(x)∈(－2，－1)，g2(x)∈(0，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com1)，进而g1(x)有2个对应的x，g2(x)有2个，共计4个，(4)正确．则综上所述，正确的命题共有3个．2．已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)的零点个数为________．2．答案5解析令y＝2f2(x)－3f(x)＝0，则f(x)＝0或f(x)＝．函数f(x)＝的象如所图图示：由可得图，f(x)＝0有2根个，f(x)＝有3根个，故函数y＝2f2(x)－3f(x)的零点个数为5．3．设定义域为R的函数f(x)＝若于关x的方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0有3个不同的解x1，x2，x3，则x12＋x22＋x32＝________．3．答案5解析先作出f(x)的图像如图，观察可发现对于任意的t，满足t＝f(x)的x的个数分别为2个(t＞0，t≠1)和3个(t＝1)，已知有3个解，从而可得f(x)＝1必为f2...