小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题05含参函数的单调性讨论【方法总结】分类讨论思想研究函数的单调性讨论含参函数的单调性，其本质就是讨论导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主．讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般来说需要进行四个层次的分类：(1)最高次幂的系数是否为0，即“是不是”；(2)导函数是否有变号零点，即“有没有”；(3)导函数的变号零点是否在函数定义域或指定区间内，即“在不在”；(4)导函数的变号零点之间的大小关系，即“大不大”．牢记：十二字方针“是不是，有没有，在不在，大不大”．考点一导主一次型【例题选讲】[例1]已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性．解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－＝，令f′(x)＝0，得x＝a，①当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，②当a>0时，x∈(0，a)时，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．【对点训练】1．已知函数f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．讨论函数f(x)的单调性．1．解析函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝1，当a>0时，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当a<0时，f(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减；当a＝0时，f(x)为常函数．2．已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性．2．解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a＝(x>0)，①当a≤0时，f′(x)＝－a>0，即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当a>0时，令f′(x)＝－a＝＝0，可得x＝，当0<x<时，f′(x)＝>0；当x>时，f′(x)＝<0，故函数f(x)在上单调递增，在上单调递减．综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减．考点二导主二次型【方法总结】小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题．对于二次三项式含参问题，有如下处理思路：(1)首先需要考虑二次项系数是否含有参数．如果二次项系数有参数，就按二次项系数为零、为正、为负进行讨论；(2)其次考虑二次三项式能否因式分解，如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，只需讨论零点是否在定义域内，如果x1，x2都在定义域内，则讨论个零点x1，x2的大小；如果二次三项式不能因式分解，这表明不一定存在零点，需讨论判别式Δ≤0和Δ>0分类讨论；【例题选讲】命题点1是不是＋有没有＋在不在[例2](2021·全国乙节选)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1．讨论f(x)的单调性．解析由题意知f(x)的定义域为R，f′(x)＝3x2－2x＋a，对于f′(x)＝0，Δ＝(－2)2－4×3a＝4(1－3a)．①当a≥时，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增；②当a<时，令f′(x)＝0，即3x2－2x＋a＝0，解得x1＝，x2＝，令f′(x)>0，则x<x1或x＞x2；令f′(x)<0，则x1<x<x2．所以f(x)在(－∞，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增．综上，当a≥时，f(x)在R上单调递增；当a<时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．[例3](2018·全国Ⅰ节选)已知函数f(x)＝－x＋alnx，讨论f(x)的单调性．解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－－1＋＝－．①当a≤2时，则f′(x)≤0，当且仅当a＝2，x＝1时，f′(x)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．②当a＞2时，令f′(x)＝0，得x＝或x＝．当x∈∪时，f′(x)＜0；当x∈时，f′(x)＞0．所以f(x)在，上单调递减，在上单调递增．综合①②可知，当a≤2时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a＞2时，f(x)在，上单调递减，在上单调递增．[例4]设函数f(x)＝alnx＋，其中a为常数．讨论函数f(x)的单调性．解析函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝＋＝．当a≥0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．当a＜0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，由于Δ＝(2a＋2)2－...