小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题28三角形面积型最值逆向与三角形面积运算型最值问题最值问题——构造函数最的基本解法有几何法和代法：几何法是根据已知的几何量之的相互系、平面几何和值问题数间关解析几何知加以解的识决(如抛物上的点到某定点和焦点的距离之和、光反射等线个线问题)；代法是建数立求解目于某或量的函，通求解函的最普通方法、基本不等式方法、方法等标关个两个变数过数值导数解的．决【例题选讲】[例1]定圆M：(x＋)2＋y2＝16，动圆N过点F(，0)且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E．(1)求轨迹E的方程；(2)设点A，B，C在E上运动，A与B关于原点对称，且|AC|＝|BC|，当△ABC的面积最小时，求直线AB的方程．[规范解答](1) F(，0)在圆M：(x＋)2＋y2＝16内，∴圆N内切于圆M． |NM|＋|NF|＝4>|FM|，∴点N的轨迹E为椭圆，且2a＝4，c＝，∴b＝1，∴轨迹E的方程为＋y2＝1．(2)①当AB为长轴(或短轴)时，S△ABC＝|OC|·|AB|＝2．②当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝kx，A(xA，yA)，由题意，C在线段AB的中垂线上，则OC的方程为y＝－x．联立方程得，x＝，y＝，∴|OA|2＝x＋y＝．将上式中的k替换为－，可得|OC|2＝．∴S△ABC＝2S△AOC＝|OA|·|OC|＝·＝． ≤＝，∴S△ABC≥，当且仅当1＋4k2＝k2＋4，即k＝±1时等号成立，此时△ABC面积的最小值是． 2>，∴△ABC面积的最小值是，此时直线AB的方程为y＝x或y＝－x．[例2]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P在椭圆上(异于椭圆C的左、右顶点)，过右焦点F2作∠F1PF2的外角平分线L的垂线F2Q，交L于点Q，且|OQ|＝2(O为坐标原点)，椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为4．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：x＝my＋4(m∈R)与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A′，直线A′B交x轴于点D，求当△ADB的面积最大时，直线l的方程．[规范解答](1)由椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为4×ab＝4，得ab＝2．延长F2Q交直线F1P于点R，因为F2Q为∠F1PF2的外角平分线的垂线，所以|PF2|＝|PR|，Q为F2R的中点，所以|OQ|＝＝＝＝a，所以a＝2，b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1．(2)联立消去x，得(3m2＋4)y2＋24my＋36＝0，所以Δ＝(24m)2－4×36×(3m2＋4)＝144(m2－4)>0，即m2>4．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A′(x1，－y1)，由根与系数的关系，得y1＋y2＝，y1y2＝，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com直线A′B的斜率k＝＝，所以直线A′B的方程为y＋y1＝(x－x1)，令y＝0，得xD＝＝＝＋4，故xD＝1，所以点D到直线l的距离d＝，所以S△ADB＝|AB|·d＝＝18·．令t＝(t>0)，则S△ADB＝18·＝≤＝，当且仅当3t＝，即t2＝＝m2－4，即m2＝>4，m＝±时，△ADB的面积最大，所以直线l的方程为3x＋2y－12＝0或3x－2y－12＝0．[例3]已知抛物线C：x2＝2py(p>0)和定点M(0，1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N．(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程．[规范解答]设直线AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2－2pkx－2p＝0，则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p．①(1)由x2＝2py得y′＝，则A，B处的切线斜率的乘积为＝－， 点N在以AB为直径的圆上，∴AN⊥BN，∴－＝－1，∴p＝2．(2)易得直线AN：y－y1＝(x－x1)，直线BN：y－y2＝(x－x2)，联立结合①式，解得即N(pk，－1)．所以|AB|＝|x2－x1|＝·＝·，点N到直线AB的距离d＝，则S△ABN＝·|AB|·d＝≥2，当k＝0时，取等号， △ABN的面积的最小值为4，∴2＝4，∴p＝2，故抛物线C的方程为x2＝4y．[例4](如图，设椭圆C：＋＝1(a>b>0)，左、右焦点为F1，F2，上顶点为D，离心率为，且DF1·DF2＝－2．(1)求椭圆C的方程；(2)设E是x轴正半轴上的一点，过点E任作直线l与C相交于A，B两点，如果＋是定值，试确定点E的位置，并求S△DAE·S△DBE的最大值．[规范解答](1)由题意知，D(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，由e＝，得＝，由DF1·DF2＝－2，得－c2＋b2＝－2，又a2＝b2＋c2，∴a＝，b...