小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题07构造函数法解决导数不等式问题(二)考点四构造F(x)＝f(x)±g(x)，F(x)＝f(x)g(x)，F(x)＝类型的辅助函数【方法总结】(1)若F(x)＝f(x)＋axn＋b，则F′(x)＝f′(x)＋naxn－1；(2)若F(x)＝f(x)±g(x)，则F′(x)＝f′(x)±g′(x)；(3)若F(x)＝f(x)g(x)，则F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(4)若F(x)＝，则F′(x)＝．由此得到结论：(1)出现f′(x)＋naxn－1形式，构造函数F(x)＝f(x)＋axn＋b；(2)出现f′(x)±g′(x)形式，构造函数F(x)＝f(x)±g(x)；(3)出现f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)形式，构造函数F(x)＝f(x)g(x)；(4)出现f′(x)g(x)－f(x)g′(x)形式，构造函数F(x)＝．【例题选讲】[例1](1)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝3，对任意x∈R，f′(x)<3，则f(x)>3x＋6的解集为()A．{x|－1<x<1}B．{x|x>－1}C．{x|x<－1}D．R答案C解析设g(x)＝f(x)－(3x＋6)，则g′(x)＝f′(x)－3<0，所以g(x)为减函数，又g(－1)＝f(－1)－3＝0，所以根据单调性可知g(x)>0的解集是{x|x<－1}．(2)定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且对∀x∈R，f′(x)＜，不等式则f(log2x)＞的解集为________．答案(0，2)解析构造函数F(x)＝f(x)－x，则F′(x)＝f′(x)－＜0，∴函数F(x)在R上是减函数．由f(1)＝1，得F(1)＝f(1)－＝1－＝，∴f(log2x)＞⇔f(log2x)－log2x＞⇔F(log2x)＞F(1)⇔log2x＜1⇔0＜x＜2．(3)定义在R上的可导函数f(x)满足f(1)＝1，且2f′(x)>1，当x∈，不等式时f(2cosx)>－2sin2的解集为()A．B．C．D．答案D解析令g(x)＝f(x)－－，则g′(x)＝f′(x)－>0，∴g(x)在R上单调递增，且g(1)＝f(1)－－＝0， f(2cosx)－＋2sin2＝f(2cosx)－－＝g(2cosx)，∴f(2cosx)>－2sin2，即g(2cosx)>0，∴2cosx>1，又x∈，∴x∈．(4)f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f′(x)＞2x．若f(a－2)－f(a)≥4－4a，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1]B．[1，＋∞)C．(－∞，2]D．[2，＋∞)答案A解析令G(x)＝f(x)－x2，则G′(x)＝f′(x)－2x．当x∈[0，＋∞)时，G′(x)＝f′(x)－2x＞0，∴G(x)在[0，＋∞)上是增函数．由f(a－2)－f(a)≥4－4a，得f(a－2)－(a－2)2≥f(a)－a2，即G(a－2)≥G(a)，又f(x)是定义在R上的偶函数，知G(x)是偶函数．故|a－2|≥|a|，解得a≤1．(5)已知f′(x)是函数f(x)的导数，且f(－x)＝f(x)，当x≥0时，f′(x)>3x，则不等式f(x)－f(x－1)<3x－的解集是()A．B．C．D．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com答案D解析设g(x)＝f(x)－x2，则g′(x)＝f′(x)－3x．因为当x≥0时，f′(x)>3x，所以当x≥0时，g′(x)＝f′(x)－3x>0，即g(x)在[0，＋∞)上单调递增．因为f(－x)＝f(x)，所以g(－x)＝f(－x)－x2＝f(x)－x2＝g(x)，所以g(x)是偶函数．因为f(x)－f(x－1)<3x－，所以f(x)－x2<f(x－1)－(x－1)2，即g(x)<g(x－1)，所以g(|x|)<g(|x－1|)，则|x|<|x－1|，解得x<．故选D．(6)设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导数，当x>0时，f(x)＋f′(x)·xlnx<0，则不等式(x－1)f(x)>0的解集为________．答案(0，1)解析由于函数y＝f(x)为R上的奇函数，则f(0)＝0．当x>0时，f(x)＋f′(x)·xlnx<0，则f(1)<0．当x>0时，构造函数g(x)＝f(x)lnx，则g′(x)＝f′(x)lnx＋f(x)·＝<0，所以函数y＝g(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，且g(1)＝0．当0<x<1时，lnx<0，g(x)>g(1)＝0，即f(x)lnx>0，此时f(x)<0；当x>1时，lnx>0，g(x)<g(1)＝0，即f(x)lnx<0，此时f(x)<0．又f(1)<0，所以当x>0时，f(x)<0．由于函数y＝f(x)为R上的奇函数，当x<0时，f(x)>0．对于不等式(x－1)f(x)>0，当x<0时，x－1<0，则f(x)<0，不符合题意；当0<x<1时，x－1<0，则f(x)<0，符合题意；当x>1时，x－1>0，则f(x)>0，不符合题意．综上所述，不等式(x－1)f(x)>0的解集为(0，1)．(7)(多选)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且(x＋1)f′(x)－f(x)＜x2＋2x对任意x∈(0，＋∞)恒成立．下列结论正确的是()A．2f(2)－3f(1)＞5B．若f(1)＝2，x＞1，则f(x)＞x2＋x＋C．f(3)－2f(1)＜7D．若f(1)＝2，0＜x＜1，则f(x)＞x2＋x＋解析CD答案设函数g(x...