小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题十解三角形综合问题考点一正、余弦定理与三角函数结合的问题【方法总结】解三角形与三角函数交汇问题一般步骤【例题选讲】[例1]已知函数f(x)＝cos＋(sinx＋cosx)2．(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)设△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若a＝2，c＝，f＝，求b的值．解析(1)f(x)＝cos2x－sin2x＋(1＋sin2x)＝sin＋，所以f(x)的最大值为1＋，最小正周期T＝π．(2)因为f＝sin＋＝cos＋＝，所以cos＝0，因为0<C<π，所以C＝．由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，可得b2－2b－3＝0，因为b>0，所以b＝3．[例2]已知f(x)＝cosxsin＋1．(1)求f(x)在[0，π]上的单调递增区间；(2)在△ABC中，若角A，B，C的对边分别是a，b，c，且f(B)＝，sinAsinC＝sin2B，求a－c的值．解析f(x)＝cosxsin＋1＝cosx＋1＝sin2x－×＋1＝sin2x－cos2x＋＝sin＋．(1)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，又x∈[0，π]，∴f(x)在[0，π]上的增是和．单调递区间(2)由f(B)＝sin＋＝，得sin＝1．又B是△ABC的角，内∴2B－＝，得B＝．由sinAsinC＝sin2B及正弦定理可得ac＝b2．在△ABC中，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得ac＝(a－c)2＋2ac－ac，则a－c＝0．[例3]已知函数f(x)＝sin2x－cos2x＋2sinxcosx(x∈R)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝2，c＝5，cosB＝，求△ABC中线AD的长．解析(1)f(x)＝－cos2x＋sin2x＝2sin．∴T＝＝π．∴函数f(x)的最小正周期为π．(2)由(1)知f(x)＝2sin， 在△ABC中f(A)＝2，∴sin＝1，∴2A－＝，∴A＝．又cosB＝且B∈(0，π)，∴sinB＝，∴sinC＝sin(A＋B)＝×＋×＝，在△ABC中，由正弦定理＝，得＝，∴a＝7，∴BD＝．在△ABD中，由余弦定理得，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcosB＝52＋－2×5××＝，因此△ABC的中线AD＝．[例4]已知函数f(x)＝cos2x＋sin(π－x)cos(π＋x)－．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(1)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间；(2)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)＝－1，a＝2，bsinC＝asinA，求△ABC的面积．解析(1)f(x)＝cos2x－sinxcosx－＝－sin2x－＝－sin，令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，又 x∈[0，π]，∴函数f(x)在[0，π]上的和．单调递减区间为(2)由(1)知f(x)＝－sin，∴f(A)＝－sin＝－1， △ABC角三角形，为锐∴0<A<，∴－<2A－<，∴2A－＝，即A＝．又 bsinC＝asinA，∴bc＝a2＝4，∴S△ABC＝bcsinA＝．[例5]已知f(x)＝12sincosx－3，x∈．(1)求f(x)的最大值、最小值；(2)CD为△ABC的内角平分线，已知AC＝f(x)max，BC＝f(x)min，CD＝2，求C．解析(1)f(x)＝12sincosx－3＝12cosx－3＝6sinxcosx＋6cos2x－3＝3sin2x＋3cos2x＝6sin， f(x)在上是增函，在上是函，又数减数f(0)＝3，f＝3．∴f(x)max＝f＝6，f(x)min＝3．(2)在△ADC中，＝，在△BDC中，＝， sin∠ADC＝sin∠BDC，AC＝6，BC＝3，∴AD＝2BD．在△BCD中，BD2＝CD2＋BC2－2CD·BC·cos＝17－12cos，在△ACD中，AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos＝44－24cos，又AD2＝4BD2，∴44－24cos＝68－48cos，∴cos＝， C∈(0，π)，∴C＝．[例6]已知函数f(x)＝sin2ωx－sin2，函数f(x)的图象关于直线x＝π对称．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，f＝，求△ABC面积的最大值．解析(1)f(x)＝－cos2ωx－＝cos－cos2ωx＝－cos2ωx＋sin2ωx＝sin．令2ωx－＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z．∴f(x)的对称轴为x＝＋，k∈Z．令＋＝π，k∈Z，解得ω＝，k∈Z． ＜ω＜1，∴取k＝1，ω＝，∴f(x)＝sin．∴f(x)的最小正周期T＝＝．(2) f＝sin＝，∴sin＝．又0<A<π，∴A＝．由余弦定理得，cosA＝＝＝，∴b2＋c2＝bc＋1≥2bc，且当仅当b＝c，等成立．时号∴bc≤1．∴S△ABC＝bcsinA＝bc≤，∴△ABC面的最大是．积值【对点训练】1．已知函数f(x)＝sin2x＋2cos2x－1，x∈R．(1)求函数f(x)的最小正周期和单...