小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题29距离型、参数型、数量积型及四边形面积型最值问题最值问题——构造函数最的基本解法有几何法和代法：几何法是根据已知的几何量之的相互系、平面几何和值问题数间关解析几何知加以解的识决(如抛物上的点到某定点和焦点的距离之和、光反射等线个线问题)；代法是建数立求解目于某或量的函，通求解函的最普通方法、基本不等式方法、方法等标关个两个变数过数值导数解的．决【例题选讲】[例1]如图，已知抛物线E：y2＝2px(p>0)与圆O：x2＋y2＝8相交于A，B两点，且点A的横坐标为2．过劣弧AB上动点P(x0，y0)作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2相交于点M．(1)求抛物线E的方程；(2)求点M到直线CD距离的最大值．[规范解答](1)把xA＝2代入x2＋y2＝8，得y＝4，故2pxA＝4，p＝1．于是，抛物线E的方程为y2＝2x．(2)设C，D，切线l1：y－y1＝k，代入y2＝2x得ky2－2y＋2y1－ky＝0，由Δ＝0，解得k＝．∴l1的方程为y＝x＋，同理，l2的方程为y＝x＋．联立解得易得直线CD的方程为x0x＋y0y＝8，其中x0，y0满足x＋y＝8，x0∈[2,2]．联立得x0y2＋2y0y－16＝0，则∴M(x，y)满足即点M为．点M到直线CD：x0x＋y0y＝8的距离d＝＝＝＝，令f(x)＝，x∈[2，2]，则f(x)在[2，2]上单调递减，当且仅当x＝2时，f(x)取得最大值，故dmax＝．[例2]如图，已知点F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1的两个焦点，椭圆C2：＋y2＝λ经过点F1，F2，点P是椭圆C2上异于F1，F2的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆C1的交点分别是A，B和C，D．设AB，CD的斜率分别为k，k′．(1)求证：k·k′为定值；(2)求|AB|·|CD|的最大值．[规范解答](1)证明：因为点F1，F2是椭圆C1的两个焦点，故F1(－1,0)，F2(1,0)．又点F1，F2是椭圆C2上的点，将F1或F2的坐标代入C2的方程得λ＝．设点P的坐标是(x0，y0)，由点P是椭圆C2上的点，知＋y＝，① 直线PF1和PF2的斜率分别是k，k′(k≠0，k′≠0)，∴kk′＝·＝，②小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com由①②可得kk′＝－，即k·k′为定值．(2)直线PF1的方程可表示为y＝k(x＋1)(k≠0)，与椭圆C1的方程联立，得到方程组消去y得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝．|AB|＝|x1－x2|＝＝．同理可求得|CD|＝，则|AB|·|CD|＝＝4≤，当且仅当k＝±时等号成立．故|AB|·|CD|的最大值为．[例3]已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，左、右焦点分别为F1，F2，且F2与抛物线y2＝4x的焦点重合．(1)求椭圆的标准方程；(2)若过F1的直线交椭圆于B，D两点，过F2的直线交椭圆于A，C两点，且AC⊥BD，求|AC|＋|BD|的最小值．[规范解答](1)抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，所以c＝1，又因为e＝＝＝，所以a＝，所以b2＝2，所以椭圆的标准方程为＋＝1．(2)①当直线BD的斜率k存在且k≠0时，直线BD的方程为y＝k(x＋1)，代入椭圆方程＋＝1，并化简得x2＋6k2x＋3k2－6＝0．Δ＝36k4－4(3k2＋2)(3k2－6)＝48(k2＋1)>0恒成立．设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，|BD|＝·|x1－x2|＝＝，由题意知AC的斜率为－，所以|AC|＝＝．|AC|＋|BD|＝4＝≥＝＝．当且仅当3k2＋2＝2k2＋3，即k＝±1时，上式取等号，故|AC|＋|BD|的最小值为．②当直线BD的斜率不存在或等于零时，可得|AC|＋|BD|＝>．综上，|AC|＋|BD|的最小值为．[题后悟通]题目中未直接告诉我们不等关系，则选择将|AC|＋|BD|表示为关于k的函数，再行处理，注意到3k2＋2＋2k2＋3＝5(k2＋1)，所以可以考虑基本不等式，但一定要注意等号是否能够成立.当然这里也可以利用换元法．令k2＋1＝t(t≥1)，将原式转化为来处理，但稍微比较复杂一些．[例4]已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F2(1，0)，且该椭圆过定点M．(1)求椭圆E的标准方程；(2)设点Q(2，0)，过点F2作直线l与椭圆E交于A，B两点，且F2A＝λF2B，λ∈[－2，－1]，以QA，QB为邻边作平行四边形QACB，求对角线QC长度的最小值．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com[规范解答](1)由题易...