专题29距离型、参数型、数量积型及四边形面积型最值问题最值问题——构造函数最值问题的基本解法有几何法和代数法：几何法是根据已知的几何量之间的相互关系、平面几何和解析几何知识加以解决的(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等)；代数法是建立求解目标关于某个或两个变量的函数，通过求解函数的最值普通方法、基本不等式方法、导数方法等解决的．【例题选讲】[例1]如图，已知抛物线E：y2＝2px(p>0)与圆O：x2＋y2＝8相交于A，B两点，且点A的横坐标为2．过劣弧AB上动点P(x0，y0)作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2相交于点M．(1)求抛物线E的方程；(2)求点M到直线CD距离的最大值．[例2]如图，已知点F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1的两个焦点，椭圆C2：＋y2＝λ经过点F1，F2，点P是椭圆C2上异于F1，F2的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆C1的交点分别是A，B和C，D．设AB，CD的斜率分别为k，k′．(1)求证：k·k′为定值；(2)求|AB|·|CD|的最大值．[例3]已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，左、右焦点分别为F1，F2，且F2与抛物线y2＝4x的焦点重合．(1)求椭圆的标准方程；(2)若过F1的直线交椭圆于B，D两点，过F2的直线交椭圆于A，C两点，且AC⊥BD，求|AC|＋|BD|的最小值．[例4]已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F2(1，0)，且该椭圆过定点M．(1)求椭圆E的标准方程；(2)设点Q(2，0)，过点F2作直线l与椭圆E交于A，B两点，且F2A＝λF2B，λ∈[－2，－1]，以QA，QB为邻边作平行四边形QACB，求对角线QC长度的最小值．[例5](2020·浙江)如图，已知椭圆C1：＋y2＝1，抛物线C2：y2＝2px(p＞0)，点A是椭圆C1与抛物线C2的交点，过点A的直线l交椭圆C1于点B，交抛物线C2于点M(B，M不同于A)．(1)若p＝，求抛物线C2的焦点坐标；(2)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．[例6]已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x0，y0)．(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)Q是以AB为直径的圆上一点，且AP·BQ＝0，求AP·PQ的最大值．[例7]如图，在矩形ABCD中，|AB|＝4，|AD|＝2，O为AB的中点，P，Q分别是AD和CD上的点，且满足①＝，②直线AQ与BP的交点在椭圆E：＋＝1(a>b>0)上．(1)求椭圆E的方程；(2)设R为椭圆E的右顶点，M为椭圆E第一象限部分上一点，作MN垂直于y轴，垂足小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com为N，求梯形ORMN面积的最大值．[例8]设点F1(－c，0)，F2(c，0)分别是椭圆C：＋y2＝1(a>0)的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且PF1·PF2的最小值为0．(1)求椭圆C的方程；(2)如图，动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且仅有一个公共点，作F1M⊥l，F2N⊥l分别交直线l于M，N两点，求四边形F1MNF2的面积S的最大值．[例9]已知椭圆的两个焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，且椭圆与直线y＝x－相切．(1)求椭圆的方程；(2)过F1作两条互相垂直的直线l1，l2，与椭圆分别交于点P，Q及M，N，求四边形PMQN面积的最小值．[例10]已知椭圆的中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k>0)与直线AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．(1)若ED＝6DF，求k的值；(2)求四边形AEBF面积的最大值．【对点训练】1．如图所示，点A，B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF．(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．2．已知直线l：x－y＋1＝0与焦点为F的抛物线C：y2＝2px(p＞0)相切．(1)求抛物线C的方程；(2)过焦点F的直线m与抛物线C分别相交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．3．如图，抛物线C：x2＝2px(p＞0)的焦点为F(0，1)，取垂直于y轴的直线与抛物线交于不同的两点P1，P2，过P1，P2作圆心为Q的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且P1Q⊥P2Q．(1)求抛物线C和圆Q的方程；(2)过点F作直线l，与抛物线C和圆Q依次交于点M，A，B，N，求|MN|·|AB|的最小值．4．(2017·浙江)如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y)．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．(1)求直...