小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题四垂面模型【方法总结】垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，．rhCDBRAO1O2hrhCDBRAO1O2hO2D2B2【例题选讲】[例](1)已知在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，且∠ACB＝30°，AC＝2AB＝2，SA＝1．则该三棱锥的外接球的体积为()A．πB．13πC．πD．π答案D解析 ∠ACB＝30°，AC＝2AB＝2，∴△ABC是以AC斜的直角三角形，其外接为边圆半径r＝＝，三外接球即以则棱锥为△ABC底面，以为SA高的三柱的外接球，为棱∴三外接球的半棱锥径R足满R＝＝，故三外接球的体棱锥积V＝πR3＝π．故选D．2PBCAO224O1第(1)小题图第(2)小题图1第(2)小题图2(2)三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝PC＝AC＝2，AB＝4，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为()A．23πB．πC．64πD．π答案D解析如图1，设O三为棱锥外接球的球心，O1正为△PAC的中心，则OO1＝AB＝2．2AO1＝＝，AO1＝，R2＝OA2＝O1A2＋O1O2＝＋4＝，故几何体外接球的表面积S＝4πR2＝π．另解：如图2，设O′正为△PAC的中心，D为Rt△ABC斜的中点，边H为AC中点．由平面PAC⊥平面ABC，则O′H⊥平面ABC．作O′O∥HD，OD∥O′H，交点则O三外接球的球心，接为棱锥连OP，又O′P＝PH＝××2＝，OO′＝DH＝AB＝2．∴R2＝OP2＝O′P2＋O′O2＝＋4＝．故几何体外接球的表面积S＝4πR2＝π．(3)在三棱锥S－ABC中，侧棱SA⊥底面ABC，AB＝5，BC＝8，∠ABC＝60°，SA＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为()小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comA．πB．πC．πD．π答案B解析由意知，题AB＝5，BC＝8，∠ABC＝60°，在则△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2×AB×BC×cos∠ABC，解得AC＝7，设△ABC的外接半圆径为r，则△ABC的外接直圆径2r＝＝，∴r＝，又 侧棱SA⊥底面ABC，∴三的外接球的球心到平面棱锥ABC的距离h＝SA＝，外接球的则半径R＝＝，三的外接球的表面则该棱锥积为S＝4πR2＝π.(4)在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝120˚，PA＝AB＝AC＝2，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为()A．10πB．18πC．20πD．9π答案C解析如图1，先由余弦定理求出BC＝2，再由正弦定理求出r＝AO1＝2，外接球的直径R＝＝，所以球的表面该积为4πR2＝20π．5BSCAO8O125rh22ACBRPO1O23221第(3)小题图第(4)小题图1第(4)小题图2另解如图2，三中正六柱的三该棱锥为图棱内棱锥P－ABC，PA＝AB＝AC＝2，所以三的外该棱锥接球即六柱的外接球，所以外接球的直该棱径2R＝＝2⇒R＝，所以球的表面该积为4πR2＝20π．(5)在三棱锥中，平面，，，，设为中点，且直线与平面所成角的余弦值为，则该三棱锥外接球的表面积为________．答案解析在中，，，，由余弦定理得：，即22221221cos1207BC，解得：．设的外接圆半径为，由正弦定理得7272sinsin1203BCrBAC解得：72133r；且222cos2ABBCACABCABBC2221(7)2277217，又为中点，在中，，，．由余弦定理得：，即：222772731()212274AD，解小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com得．又因为平面，所以为直线与平面所成角，由，得，，所以在中，．设三棱锥的外接球半径为，所以222232137()()()22312PARr，三棱锥外接球表面积为．【对点训练】1．三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，若SA＝AB＝BC＝AC＝3，则该三棱锥外接球的表面积为()A．18πB．C．21πD．42π1．答案C解析由于AB＝BC＝AC＝3，则△ABC是边长为3的等三角形，由正弦定理知，边△ABC的外接的直圆径为2r＝＝2，由于SA⊥底面ABC，所以△ABC外接的心的垂段圆过圆线与线SA中垂面的交点三的外接球的球心，所以外接球的半为该棱锥径R＝＝，因此，三棱锥S－ABC的外接球的表面积为4πR2＝4π×＝21π．故选C．2．四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角...
