小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题09函数的最值考点一求已知函数的最值【方法总结】导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤(1)求函数f(x)的导数f′(x)；(2)求f(x)在给定区间上的单调性和极值；(3)求f(x)在给定区间上的端点值；(4)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值；(5)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范．【例题选讲】[例1](1)函数f(x)＝lnx－x在区间(0，e]上的最大值为________．答案－1解析f′(x)＝－1，令f′(x)＝0得x＝1．当x∈(0，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，e]时，f′(x)＜0．∴当x＝1时，f(x)取得最大值，且f(x)max＝f(1)＝ln1－1＝－1．(2)函数f(x)＝x2＋x－2lnx的最小值为．答案解析因为f′(x)＝x＋1－＝(x＞0)，所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝＋1＝．(3)已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx＋2，其导函数f′(x)为偶函数，f(1)＝－，函则数g(x)＝f′(x)ex在区间[0，2]上的最小值为．答案－2e解析由题意可得f′(x)＝x2＋2mx＋n， f′(x)为偶函数，∴m＝0，故f(x)＝x3＋nx＋2， f(1)＝＋n＋2＝－，∴n＝－3．∴f(x)＝x3－3x＋2，则f′(x)＝x2－3．故g(x)＝ex(x2－3)，则g′(x)＝ex(x2－3＋2x)＝ex(x－1)·(x＋3)，据此可知函数g(x)在区间[0，1)上单调递减，在区间(1，2]上单调递增，故函数g(x)的极小值，即最小值为g(1)＝e1·(12－3)＝－2e．(4)已知函数f(x)＝2sinx＋sin2x，则f(x)的最小值是________．答案－解析 f(x)的最小正周期T＝2π，∴求f(x)的最小值相当于求f(x)在[0，2π]上的最小值．f′(x)＝2cosx＋2cos2x＝2cosx＋2(2cos2x－1)＝4cos2x＋2cosx－2＝2(2cosx－1)(cosx＋1)．令f′(x)＝0，解得cosx＝或cosx＝－1，x∈[0，2π]．∴由cosx＝－1，得x＝π；由cosx＝，得x＝π或x＝． 函数的最值只能在导数值为0的点或区间端点处取到，f(π)＝2sinπ＋sin2π＝0，f＝2sin＋sin＝，f＝－，f(0)＝0，f(2π)＝0，∴f(x)的最小值为－．(5)设正实数x，则f(x)＝的值域为________．答案解析令lnx＝t，则x＝et，∴g(t)＝，令t2＝m，m≥0，∴h(m)＝，∴h′(m)＝，令h′(m)＝0，解得m＝1，当0≤m<1时，h′(m)>0，函数h(m)单调递增，当m≥1时，h′(m)<0，函数h(m)单调递减，∴h(m)max＝h(1)＝， f(0)＝0，当m→＋∞时，h(m)→0，∴f(x)＝的值域为．(6)已知函数f(x)＝elnx和g(x)＝x＋1的图象与直线y＝m的交点分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1－x2的取值范围是()A．[1，＋∞)B．[2，＋∞)C．D．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com答案A解析由题意知f(x1)＝g(x2)，所以elnx1＝x2＋1，即x2＝elnx1－1，则x1－x2＝x1－elnx1＋1，x1>0．令h(x)＝x－elnx＋1(x>0)，则h′(x)＝1－＝．当x>e时，h′(x)>0，当0<x<e时，h′(x)<0，所以h(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，所以h(x)min＝h(e)＝1．又当x→0＋时，h(x)→＋∞，当x→＋∞时，h(x)→＋∞，所以h(x)在(0，＋∞)上的值域为[1，＋∞)，所以x1－x2的取值范围为[1，＋∞)．(7)已知不等式ex－1≥kx＋lnx对于任意的x∈(0，＋∞)恒成立，则k的最大值为________．答案e－1解析∀x∈(0，＋∞)，不等式ex－1≥kx＋lnx恒成立，等价于∀x∈(0，＋∞)，k≤恒成立，令φ(x)＝(x>0)，则φ′(x)＝，当x∈(0，1)，时φ′(x)<0，当x∈(1，＋∞)，时φ′(x)>0，∴φ(x)在(0，1)上，在单调递减(1，＋∞)上增，单调递∴φ(x)min＝φ(1)＝e－1，∴k≤e－1．(8)(多选)设函数f(x)＝，下列正确的是则选项()A．f(x)为奇函数B．f(x)的图象关于点(0，1)对称C．f(x)的最大值为＋1D．f(x)的最小值为－＋1答案BCD解析f(x)＝＋1，不满足f(－x)＝－f(x)，故A项错误；令g(x)＝，则g(－x)＝＝＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，则f(x)关于点(0，1)对称，B项正确；设f(x)＝＋1的最大值为M，则g(x)的最大值为M－1，设f(x)＝＋1的最小值为N，则g(x)的最小值为N－1，当x＞0时，g(x)＝，所以g′(x)＝，当0＜x＜1时，g′(x)＞0，当x＞1时，g′(x)＜0，所以当0＜x＜1时，g(x)单调递增，当x＞1时，...