小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题10利用空间向量计算线面角的问题【方法总结】1．直线与平面所成的角如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos＜u，n＞|＝．2．利用向量求线面角的2种方法(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线与平面所成的角．【例题选讲】考点一棱柱(台)模型[例1]如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC⊥BC，D是A1C1的中点，且AC＝BC＝AA1＝2．(1)求证：BC1∥平面AB1D；(2)求直线BC与平面AB1D所成角的正弦值．解析(1)如，接图连A1B．设A1B∩AB1＝E，接连DE．由ABC－A1B1C1三柱，得为棱E为A1B的中点．又D是A1C1的中点，所以BC1∥DE．又BC1⊄平面AB1D，DE⊂平面AB1D，所以BC1∥平面AB1D．(2)因为CC1⊥底面ABC，AC⊥BC，所以CA，CB，CC1垂直，以两两C坐原点，为标以CA，CB，CC1所在直分线别为x、轴y、轴z建立空直角坐系，轴间标则C(0，0，0)，B(0，2，0)，A(2，0，0)，B1(0，2，2)，D(1，0，2)，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以AB1＝(－2，2，2)，B1D＝(1，－2，0)，BC＝(0，－2，0)．平面设AB1D的法向量为n＝(x，y，z)，得则令y＝1，得x＝2，z＝1，所以n＝(2，1，1)．直设线BC平面与AB1D所成的角为θ，则sinθ＝|cos<BC，n>|＝＝，所以直线BC平面与AB1D所成角的正弦．值为[例2]在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为正三角形，点D在棱BC上，且CD＝3BD，点E，F分别为棱AB，BB1的中点．(1)证明：A1C∥平面DEF；(2)若A1C⊥EF，求直线A1C1与平面DEF所成的角的正弦值．解析(1)如，接图连AB1，A1B交于点H，设A1B交EF于点K，接连DK，因四形为边ABB1A1矩形，所以为H段为线A1B的中点．因点为E，F分别为棱AB，BB1的中点，所以点K段为线BH的中点，所以A1K＝3BK．又CD＝3BD，所以A1C∥DK．又A1C⊄平面DEF，DK⊂平面DEF，所以A1C∥平面DEF．(2)接连CE，EH，由(1)知，EH∥AA1，因为AA1⊥平面ABC，所以EH⊥平面ABC．因为△ABC正三角形，且点为E为棱AB的中点，所以CE⊥AB．故以点E坐原点，分以为标别EA，EH，EC的方向为x、轴y、轴z的正方向建立如所示的空直轴图间角坐系标Exyz．设AB＝4，AA1＝t(t>0)，则E(0，0，0)，A1(2，t，0)，A(2，0，0)，C(0，0，2)，F，D，所以A1C＝(－2，－t，2)，EF＝．因为A1C⊥EF，所以A1C·EF＝0，所以(－2)×(－2)－t×＋2×0＝0，所以t＝2，所以EF＝(－2，，0)，ED＝．平面设DEF的一法向量个为n＝(x，y，z)，所以则取x＝1，则n＝(1，，)．又A1C1＝AC＝(－2，0，2)，直设线A1C1平面与DEF所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，A1C1〉|＝＝＝，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以直线A1C1平面与DEF所成的角的正弦．值为[例3](2020·北京)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BB1的中点．(1)求证：BC1∥平面AD1E；(2)求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值．解析(1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥A1B1且AB＝A1B1，A1B1∥C1D1且A1B1＝C1D1，∴AB∥C1D1且AB＝C1D1，∴四形边ABC1D1平行四形，为边∴BC1∥AD1． BC1⊄平面AD1E，AD1⊂平面AD1E，∴BC1∥平面AD1E．(2)以点A坐原点，为标AD，AB，AA1所在直分线别为x、轴y、轴z，建立如所示的空直角坐轴图间系标Axyz，正方体设ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，D1(2，0，2)，E(0，2，1)，AA1＝(0，0，2)，AD1＝(2，0，2)，AE＝(0，2，1)．平面设AD1E的法向量为n＝(x，y，z)，由得令z＝－2，则x＝2，y＝1，则n＝(2，1，－2)．cos<n，AA1>＝＝＝－．因此，直线AA1平面与AD1E所成角的正弦．值为[例4](2020·浙江)如图，在三棱台ABC－DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB＝∠ACD＝45°，DC＝2BC．(1)证明：EF⊥DB；(2)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.co...