专题10利用空间向量计算线面角的问题【方法总结】1．直线与平面所成的角如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos＜u，n＞|＝．2．利用向量求线面角的2种方法(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线与平面所成的角．【例题选讲】考点一棱柱(台)模型[例1]如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC⊥BC，D是A1C1的中点，且AC＝BC＝AA1＝2．(1)求证：BC1∥平面AB1D；(2)求直线BC与平面AB1D所成角的正弦值．[例2]在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为正三角形，点D在棱BC上，且CD＝3BD，点E，F分别为棱AB，BB1的中点．(1)证明：A1C∥平面DEF；(2)若A1C⊥EF，求直线A1C1与平面DEF所成的角的正弦值．[例3](2020·北京)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BB1的中点．(1)求证：BC1∥平面AD1E；(2)求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com[例4](2020·浙江)如图，在三棱台ABC－DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB＝∠ACD＝45°，DC＝2BC．(1)证明：EF⊥DB；(2)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值．【对点训练】1．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC和△AA1C均是边长为2的等边三角形，点O为AC中点，平面AA1C1C⊥平面ABC．(1)证明：A1O⊥平面ABC；(2)求直线AB与平面A1BC1所成角的正弦值．2．(2020·全国Ⅱ)如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．(1)证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；(2)设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO＝AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值．3．斜三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，A1B＝，∠A1AB＝∠A1AC＝60°．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(1)证明：平面A1BC⊥平面ABC；(2)求直线BC1与平面ABB1A1所成角的正弦值．4．如图，在几何体ABC－A1B1C1中，平面A1ACC1⊥底面ABC，四边形A1ACC1是正方形，B1C1∥BC，Q是A1B的中点，且AC＝BC＝2B1C1，∠ACB＝．(1)证明：B1Q⊥A1C；(2)求直线AC与平面A1BB1所成角的正弦值．5．如图所示，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，M为CD的中点，∠BAD＝120°，AB＝AA1＝2A1B1＝2．(1)求证：AM⊥平面AA1B1B；(2)求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值．考点二棱(圆)锥模型[例1]如图，在三棱锥A－BCD中，AB＝BD＝AD＝AC＝2，△BCD是以BD为斜边的等腰直角三角形，P为AB的中点，E为BD的中点．(1)求证：AE⊥平面BCD；(2)求直线PD与平面ACD所成角的正弦值．[例2](2020·新山东)如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(1)证明：l⊥平面PDC；(2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．[例3]如图，在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BC⊥CD，AB＝2BC＝2CD．△EAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，且平面EAB⊥平面ABCD．点F满足：EF＝λEA(λ∈[0，1])．(1)试探究λ为何值时，CE∥平面BDF，并给予证明；(2)在(1)的条件下，求直线AB与平面BDF所成角的正弦值．[例4]如图，在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD是圆内接四边形，CB＝CD＝CE＝1，AB＝AD＝AE＝，EC⊥BD．(1)求证：平面BED⊥平面ABCD；(2)若点P在平面ABE内运动，且DP∥平面BEC，求直线DP与平面ABE所成角的正弦值的最大值．[例5](2021·浙江)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝4，PA＝，M，N分别为BC，PC的中点，PD⊥DC，PM⊥MD．(1)证明：AB⊥PM；(2)求直线AN与平面PDM所成角的正弦值．ABCDPMN[例6](2017·浙江)如图，已知四棱锥P－ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，...