专题30证明数量关系型问题圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．二是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等；解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．圆锥曲线中的证明问题是转化与化归思想的充分体现．无论证明什么结论，要对已知条件进行化简，同时对要证结论合理转化，寻求条件和结论间的联系，从而确定解题思路及转化方向．【例题选讲】[例1](2018·全国Ⅰ)设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0)．(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB．[例2]如图，圆C与x轴相切于点T(2，0)，与y轴正半轴相交于两点M，N(点M在点N的下方)，且|MN|＝3．(1)求圆C的方程；(2)过点M任作一条直线与椭圆＋＝1相交于两点A，B，连接AN，BN，求证：∠ANM＝∠BNM．[例3]双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|．(1)求C的离心率；(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF．[例4]已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的焦距为2，直线l1：x＝4与x轴的交点为G，过点M(1，0)且不与x轴重合的直线l2交椭圆E于点A，B．当l2垂直于x轴时，△ABG的面积为．(1)求椭圆E的方程；(2)若AC⊥l1，垂足为C，直线BC交x轴于点D，证明：|MD|＝|DG|．[例5]已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长为4，且过点．(1)求椭圆的方程；(2)设A，B，M是椭圆上的三点．若OM＝OA＋OB，点N为线段AB的中点，C，D，求证：|NC|＋|ND|＝2．[例6]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P(2，1)，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，且·＝－1．(1)求椭圆C的方程；(2)过P点的直线l1与椭圆C有且只有一个公共点，直线l2平行于OP(O为原点)，且与椭圆C交于A，B两点，与直线x＝2交于点M(M介于A，B两点之间)．①当△PAB面积最大时，求直线l2的方程；②求证：|PA|·|MB|＝|PB|·|MA|．[例7](2018·全国Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m>0)．(1)证明：k<－；(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP＋FA＋FB＝0．证明：|FA|，|FP|，|FB|成等差数列，并求该数列的公差．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com[例8]在平面直角坐标系xOy中，点F的坐标为，以线段MF为直径的圆与x轴相切．(1)求点M的轨迹E的方程；(2)设T是E上横坐标为2的点，OT的平行线l交E于A，B两点，交曲线E在T处的切线于点N，求证：|NT|2＝|NA|·|NB|．[例9](2017·北京)已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2，0)，B(2，0)，焦点在x轴上，离心率为．(1)求椭圆C的方程；(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E．求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5．[例10]已知顶点是坐标原点的抛物线Γ的焦点F在y轴正半轴上，圆心在直线y＝x上的圆E与x轴相切，且E，F关于点M(－1，0)对称．(1)求E和Γ的标准方程；(2)过点M的直线l与E交于A，B，与Γ交于C，D，求证：|CD|>|AB|．【对点训练】1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F(－1，0)，点P在C上．(1)求椭圆C的方程；(2)已知点M(－4，0)，过F作直线l交椭圆于A，B两点，求证：∠FMA＝∠FMB．2．如图，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，点在椭圆C上，过原点O的直线与椭圆C相交于M，N两点，且|MF|＋|NF|＝4．图①图②(1)求椭圆C的方程；(2)设P(1，0)，Q(4，0)，过点Q且斜率不为零的直线与椭圆C相交于A，B两点，证明：∠APO＝∠BPQ．3．设椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F1，F2是椭圆的两个焦点，M是椭圆上任意一点，且△MF1F2的周长是4＋2．(1)求椭圆C1的方程；(2)设椭圆C1的左、右顶点分别为A，B，过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E，若点C满足AB⊥BC，AD∥OC，连接AC交DE于点P，求证：PD＝PE．4．如图，P是直线x＝4上一动点，以P为圆心的圆Γ过定点B(1，0)，直线l是圆Γ在点B处的切线，小学、初...