小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题11立体几何中的点面距离问题【方法总结】应用等体积转化法求解点到平面的距离等体积转化法就是通过变换几何体的底面，利用几何体(主要是三棱锥)体积的不同表达形式构造方程来求解相关问题的方法，主要用于立体几何中求解点到面的距离．关键是准确把握三棱锥底面的特征，选择的底面应具备两个特征：一是底面的形状规则，即面积可求；二是底面上的高比较明显，即线面垂直关系比较直接．【例题选讲】[例1](2019·全Ⅰ国)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离．解析(1)接连B1C，ME．因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝B1C．又因为N为A1D的中点，所以ND＝A1D．由知题设A1B1綊DC，可得B1C∥＝A1D，故ME∥＝ND，因此四形边MNDE平行四形为边，所以MN∥ED．又MN⊄平面C1DE，ED⊂平面C1DE，所以MN∥平面C1DE．(2)点过C作C1E的垂线，垂足为H．由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，又BC∩C1C＝C，BC，C1C⊂平面C1CE，所以DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH．又C1E∩DE＝E，所以CH⊥平面C1DE，故CH的即点长为C到平面C1DE的距离．由已知可得CE＝1，C1C＝4，所以C1E＝，故CH＝．而点从C到平面C1DE的距离为．[例2]如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的正方形，PA＝PD＝，E为PA的中点，点F在PD上且EF⊥平面PCD，M在DC延长线上，FH∥DM，交PM于点H，且FH＝1．(1)证明：EF∥平面PBM；(2)求点M到平面ABP的距离．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com解析(1)证明：取PB的中点G，接连EG，HG，则EG∥AB，且EG＝1， FH∥DM，且FH＝1，又AB∥DM，∴EG∥FH，EG＝FH，即四形边EFHG平行四形，为边∴EF∥GH．又EF⊄平面PBM，GH⊂平面PBM，∴EF∥平面PBM．(2) EF⊥平面PCD，CD⊂平面PCD，∴EF⊥CD． AD⊥CD，EF和AD然相交，显EF，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD，CD⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAD．取AD的中点O，接连PO， PA＝PD，∴PO⊥AD．又平面ABCD∩平面PAD＝AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD， AB∥CD，∴AB⊥平面PAD， PA⊂平面PAD，∴PA⊥AB，在等腰三角形PAD中，PO＝＝＝4．点设M到平面ABP的距离为h，接连AM，利用等体可得积VM－ABP＝VP－ABM，即××2××h＝××2×2×4，∴h＝＝，∴点M到平面PAB的距离为．[例3]如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，AB＝PC＝2，PA＝PB＝．(1)求证：平面PAB⊥平面ABCD；(2)求点D到平面APC的距离．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com解析(1)明：取证AB的中点O，接连PO，CO，(略图)，由PA＝PB＝，AB＝2知△PAB等腰直角三角形，为∴PO⊥AB，PO＝1，由AB＝BC＝2，∠ABC＝60°知△ABC等三角形，为边∴CO＝．又由PC＝2得PO2＋CO2＝PC2，∴PO⊥CO，又AB∩CO＝O，∴PO⊥平面ABC，又PO⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD．(2)由知题△ADC是边长为2的等三角形，边△PAC等腰三角形，点为设D到平面APC的距离为h，由VDPAC＝VPADC得S△PAC·h＝S△ADC·PO． S△ADC＝×22＝，S△PAC＝PA·＝，∴h＝＝＝，即点D到平面APC的距离．为[例4]如图，在单位正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AD，BC1的中点．(1)求证：EF∥平面C1CDD1；(2)在线段A1B上是否存在点G，使EG⊥平面A1BC1？若存在，求点G到平面C1DF的距离；若不存在，请说明理由．解析(1)明：取证BC的中点M，接连EM，FM， E，F分是别AD，BC1的中点，∴EM∥DC，FM∥C1C，EM⊂平面EFM，FM⊂平面EFM，EM∩FM＝M，DC⊂平面C1CDD1，C1C⊂平面C1CDD1，DC∩C1C＝C，∴平面EFM∥平面C1CDD1，而EF⊂平面EFM，∴EF∥平面C1CDD1．(2)取A1B的中点G，接连EG，EA1，EB，易知EA1＝EB，而G中点，为∴EG⊥A1B．接连FG，则FG∥A1C1， 正方体棱长为1，在△A1BC1中，FG＝A1C1＝．在Rt△FME中，EF＝，在Rt△EAG中，EG＝，∴FG2＋EG2＝FE2，即EG⊥FG，故EG⊥A1C1，又A1B，A1C1⊂平面A1BC1，A1B∩A1C1＝A1，∴EG⊥平面A1BC1．点G到平面C1DF的距离...