小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题10含参函数的极值、最值讨论考点一含参函数的极值【例题选讲】[例1]设a＞0，函数f(x)＝x2－(a＋1)x＋a(1＋lnx)．(1)若曲线y＝f(x)在(2，f(2))处的切线与直线y＝－x＋1垂直，求切线方程．(2)求函数f(x)的极值．解析(1)由已知，得f′(x)＝x－(a＋1)＋(x＞0)，又由题意可知y＝f(x)在(2，f(2))处切线的斜率为1，所以f′(2)＝1，即2－(a＋1)＋＝1，解得a＝0，此时f(2)＝2－2＝0，故所求的切线方程为y＝x－2．(2)f′(x)＝x－(a＋1)＋＝＝(x＞0)．①当0＜a＜1时，若x∈(0，a)，则f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；若x∈(a，1)，则f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；若x∈(1，＋∞)，则f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．此时x＝a是f(x)的极大值点，x＝1是f(x)的极小值点，函数f(x)的极大值是f(a)＝－a2＋alna，极小值是f(1)＝－．②当a＝1时，f′(x)＝≥0，所以函数f(x)在定义域(0，＋∞)内单调递增，此时f(x)没有极值点，故无极值．③当a＞1时，若x∈(0，1)，则f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；若x∈(1，a)，则f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；若x∈(a，＋∞)，则f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．此时x＝1是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点，函数f(x)的极大值是f(1)＝－，极小值是f(a)＝－a2＋alna．综上，当0＜a＜1时，f(x)的极大值是－a2＋alna，极小值是－；当a＝1时，f(x)没有极值；当a＞1时f(x)的极大值是－，极小值是－a2＋alna．[例2]已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)当a＝时，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数．解析(1)当a＝，时f(x)＝lnx－x，函的定域数义为(0，＋∞)且f′(x)＝－＝，令f′(x)＝0，得x＝2，于是当x化，变时f′(x)，f(x)的化情如下表．变况x(0，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－f(x)ln2－1故f(x)在定域上的大义极值为f(x)大极值＝f(2)＝ln2－1，无小．极值(2)由(1)知，函的定域数义为(0，＋∞)，f′(x)＝－a＝．当a≤0，时f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，函在则数(0，＋∞)上增，此函在定域上无点；单调递时数义极值当a>0，若时x∈，则f′(x)>0，若x∈，则f′(x)<0，故函在数x＝有大．处极值上可知，综当a≤0，函时数f(x)无点，极值当a>0，函时数y＝f(x)有一大点，且个极值为x＝．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com[例3]设f(x)＝xlnx－ax2＋(3a－1)x．(1)若g(x)＝f′(x)在[1，2]上单调，求a的取值范围；(2)已知f(x)在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．解析(1)由f′(x)＝lnx－3ax＋3a，即g(x)＝lnx－3ax＋3a，x∈(0，＋∞)，g′(x)＝－3a，①g(x)在[1，2]上单调递增，∴－3a≥0对x∈[1，2]恒成立，即a≤对x∈[1，2]恒成立，得a≤；②g(x)在[1，2]上单调递减，∴－3a≤0对x∈[1，2]恒成立，即a≥对x∈[1，2]恒成立，得a≥，由①②可得a的取值范围为∪．(2)由(1)知，①当a≤0时，f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴x∈(0，1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(x)在x＝1处取得极小值，符合题意；②当0<a<时，>1，又f′(x)在上单调递增，∴x∈(0，1)时，f′(x)<0，x∈时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，1)上单调递减，在上单调递增，f(x)在x＝1处取得极小值，符合题意；③当a＝时，＝1，f′(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴x∈(0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，不合题意；④当a>时，0<<1，当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，∴f(x)在x＝1处取得极大值，不符合题意．综上所述，可得a的取值范围为．[例4](2016·山东)设f(x)＝xlnx－ax2＋(2a－1)x，a∈R．(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；(2)已知f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围．解析(1)由f′(x)＝lnx－2ax＋2a，可得g(x)＝lnx－2ax＋2a，x∈(0，＋∞)．所以g′(x)＝－2a＝．当a≤0，x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增；当a＞0，x∈时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增，x∈时，g′(x)＜0，函数g(x)单调递减．所以当a≤0时，g(x)的单调增区间为(0，＋∞)；当a＞...