小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题11导数中洛必达法则的应用【方法总结】在解决不等式恒(能)成立，求参数的取值范围这一类问题时，最常用的方法是最值分析法或参变分离法．用最值分析法常需要分，有行很．类讨论时对参数进讨论会难用参变分离法在求分离后函的最数值(域值)有些麻，如最、在无意点，或于无．时会烦值极值义处趋穷出现“”或“”型的代数式，就没法求其最值．解决此类问题的有效方法就是利用洛必达法则．“”或“”型的代数式，是大学数学中的不定式问题，洛必达法则法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件(1)limf(x)＝0及limg(x)＝0；(2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；(3)lim＝A，那么lim＝lim＝A．法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件(1)limf(x)＝∞及limg(x)＝∞；(2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；(3)lim＝A，那么lim＝lim＝A．法则3若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)limf(x)＝0及limg(x)＝0；(2)∃m≠0，f(x)和g(x)在(－∞，m)与(m，＋∞)上可导，且g′(x)≠0；(3)lim＝A．那么lim＝lim＝A．注意：(1)必达法则的功能是用于求极限值；(2)主要用于，两种类型，其他结构需转化才能应用；(3)未定式可以连续应用，已定式不能再用．计算下列各题(1)lim；(2)limxlnx；(3)lim(－)；(4)lim．解析(1)lim＝lim＝lim＝1；(2)不适合条件，需转化limxlnx＝lim＝lim＝lim(－x)＝0；(3)lim(－)＝lim＝lim＝lim＝lim＝－；(4)lim＝lim＝lim＝．注意：lim为已定式，不能再用洛必达法则．【例题选讲】[例1](2011全国Ⅰ)已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0．(1)求a，b的值；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)如果当x>0，且x≠1时，f(x)>＋，求k的取值范围．解析(1)f′(x)＝－．由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1，1)，故即解得(2)方法一(最值分析法)由(1)知f(x)＝＋，所以f(x)－＝．令函数h(x)＝2lnx＋(x>0)，则h′(x)＝．①若k≤0，由h′(x)＝知，当x≠1时，h′(x)＜0，h(x)递减．而h(1)＝0，故当x∈(0，1)时，h(x)＞0，可得h(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)＜0，可得h(x)＞0．从而当x＞0，且x≠1时，f(x)－＞0，即f(x)＞＋．②若0＜k＜1．由于(k－1)(x2＋1)＋2x＝(k－1)x2＋2x＋k－1的图象开口向下，且Δ＝4－4(k－1)2>0，对称轴x＝>1，所以当x∈时，(k－1)(x2＋1)＋2x>0，故h′(x)>0，而h(1)＝0，故当x∈时，h(x)＞0，可得h(x)＜0，与题设矛盾．③若k≥1，此时(k－1)(x2＋1)＋2x>0即h′(x)＞0，而h(1)＝0，故当x∈(1，＋∞)时，h(x)＞0，可得h(x)＜0，与题设矛盾．综上，k的取值范围为(－∞，0]．此方法在处理第(2)问时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下：(2)方法二(参变分离法)由题设可得，当x>0，x1时，k<＋1恒成立．令g(x)＝＋1(x>0，x≠1)，则g′(x)＝2·，再令h(x)＝(x2＋1)lnx－x2＋1(x>0，x≠1)，则h′(x)＝2xlnx＋－x，h″(x)＝2lnx＋1－，易知h″(x)＝2lnx＋1－在(0，＋∞)上为增函数，且h″(1)＝0．故当x∈(0，1)时，h″(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，h″(x)>0．∴h′(x)在(0，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，故h′(x)>h′(1)＝0，∴h(x)在(0，＋∞)上为增函数，又h(1)＝0，∴当x∈(0，1)时，h(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，h(x)>0，∴当x∈(0，1)时，g′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，∴g(x)在(0，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．由洛必达法则知limg(x)＝2lim＋1＝2lim＋1＝2×＋1＝0．∴k≤0，即k的取值范围为(－∞，0]．[例2]已知函数f(x)＝x2lnx－a(x2－1)，a∈R．若当x≥1时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．解析方法一(最值分析法)f′(x)＝2xlnx＋x－2ax＝x(2lnx＋1－2a)，因为x≥1，所以2lnx＋1≥1，则当a≤时，f′(x)＝x(2lnx＋1－2a)≥0，此时f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以f(x)≥f(1)＝0，此时f(x)≥0恒成立，所以a≤；当a>时，由f′(x)＝x(2lnx＋1－2a)＝0，得x＝x0，且2lnx0＋1－2a＝0，x0＝，则x∈[1，)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，x∈(，＋∞)时，f′(x)>0...