小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题25极值点偏移之积(x1x2)型不等式的证明【例题选讲】[例1]已知f(x)＝xlnx－mx2－x，x∈R．(1)当m＝－2时，求函数f(x)的所有零点；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1x2＞e2(e为自然对数的底数)．解析(1)当m＝－2时，f(x)＝xlnx＋x2－x＝x(lnx＋x－1)，x＞0．设g(x)＝lnx＋x－1，x＞0，则g′(x)＝＋1＞0，于是g(x)在(0，＋∞)上为增函数．又g(1)＝0，所以g(x)有唯一的零点x＝1，从而函数f(x)有唯一的零点x＝1．(2)欲证x1x2＞e2，只需证lnx1＋lnx2＞2．由函数f(x)有两个极值点x1，x2，可得函数f′(x)有两个零点，又f′(x)＝lnx－mx，所以x1，x2是方程f′(x)＝0的两个不同实根．于是有①＋②可得lnx1＋lnx2＝m(x1＋x2)，即m＝，②－①可得lnx2－lnx1＝m(x2－x1)，即m＝，从而可得＝，于是lnx1＋lnx2＝．由0＜x1＜x2，设t＝，则t＞1．因此lnx1＋lnx2＝，t＞1．要证lnx1＋lnx2＞2，即证＞2(t＞1)，即证当t＞1时，有lnt＞．令h(t)＝lnt－(t＞1)，则h′(t)＝－＝＞0，所以h(t)为(1，＋∞)上的增函数．因此h(t)＞ln1－＝0．于是当t＞1时，有lnt＞．所以有lnx1＋lnx2＞2成立，即x1x2＞e2．[例2]已知函数．(1)函数有两个不同的零点，求实数的取值范围；(2)在(1)的条件下，求证：．解析(1)有两个不同的零点，即有两个不同的根，．设，，令可得：．在单调递减，在单调递增，且时，，，(2)思路一：不妨设，由已知可得：，．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com即只需证明：，在方程可得：．，只需证明：．即．令，则，所以只需证明不等式：①，设，，，，在单调递增．．在单调递增，，即不等式①得证．即，．思路二：所证不等式，因为有两不同零点．满足方程，由(1)可得：．考虑设，，由(1)可得：在单调递减，在单调递增．，．结合的单调性可知：只需证明．，所以只需证明：．即证明：．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com设，则．，则．，则．单调递减，，单调递减，．hx单调递减，e0hxh，即222222eln0xxx得证．212efxfx得证，从而有221122eexxxx．[例3]已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a＝1时，方程f(x)＝m(m＜－2)有两个相异实根x1，x2，且x1＜x2，求证：x1·x＜2．解析(1)由题意得，f′(x)＝－a＝(x＞0)．当a≤0时，由x＞0，得1－ax＞0，即f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．当a＞0时，由f′(x)＞0，得0＜x＜，由f′(x)＜0，得x＞，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＞0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减．(2)由题意及(1)可知，方程f(x)＝m(m＜－2)的两个相异实根x1，x2满足lnx－x－m＝0，且0＜x1＜1＜x2，即lnx1－x1－m＝lnx2－x2－m＝0．由题意，可知lnx1－x1＝m＜－2＜ln2－2，又由(1)可知，f(x)＝lnx－x在(1，＋∞)上单调递减，故x2＞2．令g(x)＝lnx－x－m，则g(x)－g＝－x＋＋3lnx－ln2．令h(t)＝－t＋＋3lnt－ln2(t＞2)，则h′(t)＝－．当t＞2时，h′(t)＜0，h(t)单调递减，所以h(t)＜h(2)＝2ln2－＜0，所以g(x)＜g．因为x2＞2且g(x1)＝g(x2)，所以h(x2)＝g(x2)－g＝g(x1)－g＜0，即g(x1)＜g．因为g(x)在(0，1)上单调递增，所以x1＜，故x1·x＜2．总结提升本题第(2)问要证明的方程根之间的不等式关系比较复杂，此类问题可通过不等式的等价变形，将两个根分布在不等式两侧，然后利用函数的单调性转化为对应函数值之间的大小关系即可．显然构造函数的关键仍然是消掉参数，另外根据函数性质确定“x2＞2”是解题的一个关键点，确定其范围之后才能将x1与化归到函数的同一个单调区间上，这也是此类问题的一个难点——精确定位．[例4]已知函数(，)有两个不同的零点，．(1)求的最值；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)证明：．思维引导(1)求出导函数，由函数有两个不同的零点，则在内必不单调，得，进而得到函数的单...
