小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题26极值点偏移之其他型不等式的证明【例题选讲】[例1]已知函数g(x)＝lnx－ax2＋(2－a)x(a∈R)．(1)求g(x)的单调区间；(2)若函数f(x)＝g(x)＋(a＋1)x2－2x，x1，x2(0＜x1＜x2)是函数f(x)的两个零点，证明：f′<0．思维引导(2)利用分析法先等价转化所证不等式：要证明f′<0，只需证明－<0，即证明，即证明，再令，构造函数，利用导数研究函数单调性，确定其最值：在上递增，所以，即可证得结论．解析(1)函数g(x)＝lnx－ax2＋(2－a)x的定义域为(0，＋∞)，g′(x)＝－2ax＋(2－a)＝－，①当a≤0时，g′(x)>0，则g(x)在(0，＋∞)上单调递增；②当a>0时，若x∈，则g′(x)>0，若x∈，则g′(x)<0，则g(x)在上单调递增，在上单调递减．(2)因为x1，x2是f(x)＝lnx＋ax2－ax的两个零点，所以lnx1＋ax－ax1＝0，lnx2＋ax－ax2＝0，所以a＝＋(x2＋x1)，又f′(x)＝＋2x－a，所以f′＝＋(x1＋x2)－a＝－，所以要证f′<0，只须证明－<0，即证明>lnx1－lnx2，即证明令，则，则，．∴在上递减，，∴在上递增，．所以成立，即．[例2]已知函数f(x)＝x2＋ax＋blnx，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝2x．(1)求实数a，b的值；(2)设F(x)＝f(x)－x2＋mx(m∈R)，x1，x2(0＜x1＜x2)分别是函数F(x)的两个零点，求证：F()＜0(F(x)小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com为函数F(x)的导函数)．解析(1)a＝1，b＝－1；(2)2lnfxxxx，1lnFxmxx，11Fxmx，因为12,xx分是函别数Fx的零两个点，所以11221ln1lnmxxmxx，式相，得两减1212lnln1xxmxx，1212121212lnln111xxFxxmxxxxxx，要明证120Fxx，只需证121212lnln1xxxxxx．思维引导1因为120xx，只需证1211122212121lnlnln0xxxxxxxxxxxx．令120,1xtx，即证12ln0ttt，令12ln01httttt，则22212110thtttt，所以函数ht在0,1上单调递减，10hth，即证12ln0ttt，由上述分析可知120Fxx．总结提升这是极值点偏移问题，此类问题往往利用换元把12,xx转化为t的函数，常把12,xx的关系变形为齐次式，设12111222,ln,,xxxxtttxxtexx等，构造函数来解决，可称之对称化构造函数法．思维引导2因为120xx，只需证121212lnln0xxxxxx，设，则，所以函数Qx在小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com20,x上，单调递减20QxQx，即证222lnlnxxxxxx．由上述分析可知120Fxx．总结提升极值点偏移问题中，由于两个变量的地位相同，将待证不等式进行变形，可以构造关于1x（或2x）的一元函数来处理．应用导数研究其单调性，并借助于单调性，达到待证不等式的证明．此乃主元法．思维引导3要明证120Fxx，只需证121212lnln1xxxxxx，即证121212lnlnxxxxxx，由平均对数易得．数总结提升极值点偏移问题中，如果等式含有参数，则消参，有指数的则两边取对数，转化为对数式，通过恒等变换转化为对数平均问题，利用对数平均不等式求解，此乃对数平均法．[例3]已知函数．(1)若，使得恒成立，求的取值范围．(2)设，为函数图象上不同的两点，的中点为，求证：<f(x0)．解析(1)恒成立，即恒成立，令，，由于，则在单调递减，在单调递增，故，解得．(2)因为为的中点，则，故，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com，故要证，即证，由于，即证．不妨假设，只需证明，即．设，构造函数，，则，则有，从而．[例4]已知函数f(x)＝ex－x2－ax有两个极值点x1，x2(e为自然对数的底数)．(1)求实数a的取值范围；(2)求证：f(x1)＋f(x2)>2．解析(1)由于f(x)＝ex－x2－ax，则f′(x)＝ex－x－a，设g(x)＝f′(x)＝ex－x－a，则g′(x)＝ex－1，令g′(x)＝ex－1＝0，解得x＝0．所以当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0；当x∈(0，...
