小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题27单变量恒成立之参变分离后导函数零点可求型【方法总结】单变量恒成立之参变分离法参变分离法是将不等式变形成一个一端是f(a)，另一端是变量表达式g(x)的不等式后，若f(a)≥g(x)在x∈D上恒成立，则f(a)≥g(x)max；若f(a)≤g(x)在x∈D上恒成立，则f(a)≤g(x)min．特别地，经常将不等式变形成一个一端是参数a，另一端是变量表达式g(x)的不等式后，若a≥g(x)在x∈D上恒成立，则a≥g(x)max；若a≤g(x)在x∈D上恒成立，则a≤g(x)min．利用分离法确定不等式参数来f(x，a)≥0(x∈D，a为实参数)恒成立中取范的基本步：问题参数值围骤(1)量分离，化将参数与变为f1(a)≥f2(x)或f1(a)≤f2(x)的形式．(2)求f2(x)在x∈D的最大或最小．时值值(3)解不等式f1(a)≥f2(x)max或f1(a)≤f2(x)min，得到a的取范．值围【例题选讲】[例1]已知f(x)＝xlnx，g(x)＝x3＋ax2－x＋2．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对任意x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求实数a的取值范围．解析(1) 函数f(x)＝xlnx的定义域是(0，＋∞)，∴f′(x)＝lnx＋1．令f′(x)＜0，得lnx＋1＜0，解得0＜x＜，∴f(x)的单调递减区间是．令f′(x)＞0，得lnx＋1＞0，解得x＞，∴f(x)的单调递增区间是．综上，f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是．(2) g′(x)＝3x2＋2ax－1，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，∴2xlnx≤3x2＋2ax＋1恒成立． x＞0，∴a≥lnx－x－在x∈(0，＋∞)上恒成立．设h(x)＝lnx－x－(x＞0)，则h′(x)＝－＋＝－．令h′(x)＝0，得x1＝1，x2＝－(舍去)．当x∈(0，1)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减．∴当x＝1时，h(x)取得极大值，也是最大值，且h(x)max＝h(1)＝－2，∴若a≥h(x)在x∈(0，＋∞)上恒成立，则a≥h(x)max＝－2，故实数a的取值范围是[－2，＋∞)．[例2]已知函数f(x)＝lnx＋x2－(a＋1)x．(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝－2，求f(x)的单调区间；(2)若x>0时，<恒成立，求实数a的取值范围．解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．由已知得f′(x)＝＋ax－(a＋1)，则f′(1)＝0．而f(1)＝－－1，∴曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝－－1．∴－－1＝－2，解得a＝2．∴f(x)＝lnx＋x2－3x，f′(x)＝＋2x－3，由f′(x)>0，得0<x<或x>1，由f′(x)<0，得<x<1，∴f(x)的单调递增区间为和(1，＋∞)，单调递减区间为．(2)由<，得＋x－(a＋1)<＋x－，即－<在区间(0，＋∞)上恒成立．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com设h(x)＝－，则h′(x)＝＋＝，由h′(x)>0，得0<x<，因而h(x)在上单调递增，由h′(x)<0，得x>，因而h(x)在上单调递减．∴h(x)的最大值为h()＝，∴>，故a>2－1．从而实数a的取值范围为．[例3](2020·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ex＋ax2－x．(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≥x3＋1，求a的取值范围．解析(1)当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x，f′(x)＝ex＋2x－1，由于f″(x)＝ex＋2＞0，故f′(x)单调递增，注意到f′(0)＝0，故当x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．(2)由f(x)≥x3＋1，得ex＋ax2－x≥x3＋1，其中x≥0，①当x＝0时，不等式为1≥1，显然成立，符合题意；②当x＞0时，分离参数a得a≥－，记g(x)＝－，g′(x)＝－，令h(x)＝ex－x2－x－1(x≥0)，则h′(x)＝ex－x－1，h″(x)＝ex－1≥0，故h′(x)单调递增，h′(x)≥h′(0)＝0，故函数h(x)单调递增，h(x)≥h(0)＝0，由h(x)≥0可得ex－x2－x－1≥0恒成立，故当x∈(0，2)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；当x∈(2，＋∞)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．因此，g(x)max＝g(2)＝，综上可得，实数a的取值范围是．【对点精练】1．已知函数f(x)＝axex－(a＋1)(2x－1)．(1)若a＝1，求函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程；(2)当x＞0时，函数f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．1．解析(1)若a＝1，则f(x)＝xex－2(2x－1)．即f′(x)＝xex＋ex－4，则f′(0)＝－3，f(0)＝2，所以所求切线方程为3x＋y－2＝0．(2)由f(1)≥0，得a...