小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题12利用空间向量计算空间角的综合问题【例题选讲】考点一求两个空间角[例1](2018·江苏)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．解析如，在正三柱图棱ABC－A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，接连OB，OO1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以{OB，OC，OO1}基底，建立如所示的空直角坐系为图间标O－xyz．因为AB＝AA1＝2，所以A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，－1，2)，B1(，0，2)，C1(0，1，2)．(1)因为P为A1B1的中点，所以P，而从BP＝，AC1＝(0，2，2)，故|cos＜BP，AC1＞|＝＝＝．因此，面直异线BP与AC1所成角的余弦值为．(2)因为Q为BC的中点，所以Q，因此AQ＝，AC1＝(0，2，2)，CC1＝(0，0，2).设n＝(x，y，z)平面为AQC1的一法向量，个则即不妨取n＝(，－1，1)．直设线CC1平面与AQC1所成角为θ，则sinθ＝|cos<CC1，n>|＝＝＝，所以直线CC1平面与AQC1所成角的正弦值为．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com[例2](2020·江苏)在三棱锥A－BCD中，已知CB＝CD＝，BD＝2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO＝2，E为AC的中点．(1)求直线AB与DE所成角的余弦值；(2)若点F在BC上，满足BF＝BC，设二面角F－DE－C的大小为θ，求sinθ的值．解析(1)接连CO， CB＝CD，BO＝OD，∴CO⊥BD．又AO⊥平面BCD，∴AO，BO，CO垂直．两两以O坐原点，为标OB，OC，OA所在直分线别为x，y，z建立空直角坐系，轴间标则A(0，0，2)，B(1，0，0)，C(0，2，0)，D(－1，0，0)，∴E(0，1，1)．∴AB＝(1，0，－2)，DE＝(1，1，1)，∴cos＜AB，DE＞＝＝－．∴直线AB与DE所成角的余弦．值为(2)平面设DEC的法向量为n1＝(x，y，z)， DC＝(1，2，0)，∴令y＝1，则x＝－2，z＝1，n1＝(－2，1，1)．平面设DEF的法向量为n2＝(x1，y1，z1)， DF＝DB＋BF＝DB＋BC＝，∴令y1＝－7，则x1＝2，z1＝5，n2＝(2，－7，5)．∴cos＜n1，n2＞＝＝－．∴sinθ＝＝．[例3](2020·天津)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2，CC1＝3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD＝1，CE＝2，M为棱A1B1的中点．(1)求证：C1M⊥B1D；(2)求二面角B－B1E－D的正弦值；(3)求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com解析解法一：依意，以题C坐原点，分以为标别CA，CB，CC1的方向为x、轴y、轴z的正方向建轴立空直角坐系间标(如图)，可得C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，3)，A1(2，0，3)，B1(0，2，3)，D(2，0，1)，E(0，0，2)，M(1，1，3)．(1)依意，题C1M＝(1，1，0)，B1D＝(2，－2，－2)，而从C1M·B1D＝2－2＋0＝0，所以C1M⊥B1D．(2)依意，题CA＝(2，0，0)是平面BB1E的一法向量，个EB1＝(0，2，1)，ED＝(2，0，－1)．设n＝(x，y，z)平面为DB1E的一法向量，即令个则x＝1，可得n＝(1，－1，2)．cos＜CA，n＞＝＝＝，sin＜CA，n＞＝＝．所以二面角B－B1E－D的正弦．值为(3)AB＝(－2，2，0)，由(2)知n＝(1，－1,2)平面为DB1E的一法向量，个于是cos＜AB，n＞＝＝＝－．所以直线AB平面与DB1E所成角的正弦．值为[例4](2019·天津)如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2．(1)求证：BF∥平面ADE；(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；(3)若二面角E－BD－F的余弦值为，求段线CF的长．解析(1)以A坐原点，为标AB所在的直线为x，轴AD所在的直线为y，轴AE所在的直线为z，轴建立如所示的空直角坐系．图间标则A(0，0，0)，B(1，0，0)，设F(1，2，h)．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com依意，题AB＝(1，0，0)是平面ADE的一法向量，又个BF＝(0，2，h)，可得BF·AB＝0，又因直为线BF⊄平面ADE，所以BF∥平面ADE．(2)依意，题D(0，1，0)，E(0，0，2)，C(1，2，0)，则BD＝(－1，1，0)，BE＝(－1，0，2)，CE＝(－1，－2，2)．设n＝(x，y，z)平...
