小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题13利用空间向量计算距离的问题【方法总结】1．点P到直线l的距离设AP＝a，m是直线l的单位方向向量，则向量AP在直线l上的投影向量AQ＝(a·m)m．在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝．2．用向量法求点到直线距离的一般步骤(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系．(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．(3)求向量：求出相关向量的坐标(AP，直线AP的单位方向向量m)．(4)求距离d＝．3．点P到平面α的距离若平面α的法向量为n，平面α内一点为A，则平面α外一点P到平面α的距离d＝＝，如图所示．4．用向量法求点到平面距离的一般步骤(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系．(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．(3)求向量：求出相关向量的坐标(AP，α内两不共线向量，平面α的法向量n)．(4)求距离d＝．5．用向量法求线面距离、面面距离(1)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解．(2)如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解．6．求点到平面的距离的常用方法(1)直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离．(2)间接法：利用等体积法、特殊值法等转化求解．(3)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求．(4)向量法：设平面α的一个法向量为n，A是α内任意点，则点P到α的距离为d＝．【例题选讲】小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com[例1]在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求O1到直线AC的距离．解析方法一接连AO1，建立如所示的空直角坐系，图间标则A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)，∴AO1＝(－2，0，2)，AC＝(－2，3，0)，∴a＝AO1＝(－2，0，2)，a2＝8，u＝＝，au＝．∴O1到直线AC的距离d＝＝．方法二建立如所示的空直角坐系，图间标则A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)，过O1作O1D⊥AC于点D，设D(x，y，0)，则O1D＝(x，y，－2)，AD＝(x－2，y，0)． AC＝(－2，3，0)，O1D⊥AC，AD∥AC，∴解得∴D，∴|O1D|＝＝．即O1到直线AC的距离．为[例2]已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离．解析建立如所示的空直角坐系图间标Cxyz，则G(0，0，2)，E(4，－2，0)，F(2，－4，0)，B(4，0，0)，∴GE＝(4，－2，－2)，GF＝(2，－4，－2)，BE＝(0，－2，0)．平面设EFG的法向量为n＝(x，y，z)．由得∴x＝－y，z＝－3y．取y＝1，则n＝(－1，1，－3)．∴点B到平面EFG的距离d＝＝＝．[例3]在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC为正三角形，且侧棱AA1⊥底面ABC，且底面边长与侧棱长都等于2，O，O1分别为AC，A1C1的中点，求平面AB1O1与平面BC1O间的距离．解析如，接图连OO1，根据意，题OO1⊥底面ABC，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com以则O原点，分以为别OB，OC，OO1所在的直线为x，y，z建立空直角坐系．轴间标 AO1∥OC1，OB∥O1B1，AO1∩O1B1＝O1，OC1∩OB＝O，∴平面AB1O1∥平面BC1O．∴平面AB1O1平面与BC1O的距离即点间为O1到平面BC1O的距离． O(0，0，0)，B(，0，0)，C1(0，1，2)，O1(0，0，2)，∴OB＝(，0，0)，OC1＝(0，1，2)，OO1＝(0，0，2)，设n＝(x，y，z)平面为BC1O的法向量，即则∴可取n＝(0，2，－1)．点O1到平面BC1O的距离记为d，则d＝＝＝．∴平面AB1O1平面与BC1O的距离．间为[例4]在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点．(1)求点M到直线AC1的距离；(2)求点N到平面MA1C1的距离．解析(1)建立如所示的空直角坐系，图间标则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，M(2，0，1)，C1(0，2，2)，直线AC1的一位方向向量个单为s0＝，AM＝(2，0，1)，故点M到直线AC1的距离d＝＝＝．(2)平面设MA1C1的一法向量个为n＝(x，y，z)，即取则x＝1，得z＝2，故n＝(1，0，2)...