专题13利用空间向量计算距离的问题【方法总结】1．点P到直线l的距离设AP＝a，m是直线l的单位方向向量，则向量AP在直线l上的投影向量AQ＝(a·m)m．在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝．2．用向量法求点到直线距离的一般步骤(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系．(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．(3)求向量：求出相关向量的坐标(AP，直线AP的单位方向向量m)．(4)求距离d＝．3．点P到平面α的距离若平面α的法向量为n，平面α内一点为A，则平面α外一点P到平面α的距离d＝＝，如图所示．4．用向量法求点到平面距离的一般步骤(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系．(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．(3)求向量：求出相关向量的坐标(AP，α内两不共线向量，平面α的法向量n)．(4)求距离d＝．5．用向量法求线面距离、面面距离(1)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解．(2)如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解．6．求点到平面的距离的常用方法(1)直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离．(2)间接法：利用等体积法、特殊值法等转化求解．(3)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求．(4)向量法：设平面α的一个法向量为n，A是α内任意点，则点P到α的距离为d＝．【例题选讲】[例1]在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求O1到直线AC的距离．[例2]已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com[例3]在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC为正三角形，且侧棱AA1⊥底面ABC，且底面边长与侧棱长都等于2，O，O1分别为AC，A1C1的中点，求平面AB1O1与平面BC1O间的距离．[例4]在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点．(1)求点M到直线AC1的距离；(2)求点N到平面MA1C1的距离．[例5]如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，点E在线段PA上，PC∥平面BDE．(1)请确定点E的位置，并说明理由；(2)若△PAD是等边三角形，AB＝2AD，平面PAD⊥平面ABCD，四棱锥P－ABCD的体积为9，求点E到平面PCD的距离．【对点训练】1．如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，求点P到BD的距离．2．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2AB＝4，且PD与底面ABCD所成的角为45°．求点B到直线PD的距离．3．如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2，求点A到平面MBC的距离．4．在三棱锥B－ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱长AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，求点D到平面ABC的距离．5．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点．(1)求点N到直线AB的距离；(2)求点C1到平面ABN的距离．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com6．已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．(1)求点D到平面PEF的距离；(2)求直线AC到平面PEF的距离．7．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝45°，点E是CD边的中点，将△DAE沿AE折起，使点D到达点P的位置，且PB＝2．(1)求证：平面PAE⊥平面ABCE；(2)求点E到平面PAB的距离．8．如图，已知△ABC为等边三角形，D，E分别为AC，AB边的中点，把△ADE沿DE折起，使点A到达点P，平面PDE⊥平面BCDE，若BC＝4．(1)求PB与平面BCDE所成角的正弦值；(2)求直线DE到平面PBC的距离．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com