小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题14两个经典不等式的应用逻辑推理是得到数学结论，构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证．利用两个经典不等式解决问题，降低了思考问题的难度，优化了推理和运算过程．1．对数形式：x≥1＋lnx(x>0)，当且仅当x＝1时，等号成立．2．指数形式：ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立．进一步可得到一组不等式链：ex>x＋1>x>1＋lnx(x>0，且x≠1)．注意：选填题可直接使用，解答题必须先证明后再使用．考点一两个经典不等式的应用1．对数形式：x≥1＋lnx(x>0)，当且仅当x＝1时，等号成立．证明由题意知x>0，令f(x)＝x－1－lnx，所以f′(x)＝1－＝，所以当f′(x)>0时，x>1；当f′(x)<0时，0<x<1，故f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)有最小值f(1)＝0，故有f(x)＝x－1－lnx≥f(1)＝0，即lnx≤x－1成立．2．指数形式：ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立．证明设f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，由f′(x)＝0，得x＝0，所以当x<0时，f′(x)<0；当x>0时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)≥f(0)＝0，即ex－x－1≥0，所以ex≥x＋1．【例题选讲】[例1](1)已知对任意x，都有xe2x－ax－x≥1＋lnx，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，1]解析根据题意可知，x>0，由x·e2x－ax－x≥1＋lnx，可得a≤e2x－－1(x>0)恒成立，令f(x)＝e2x－－1，则a≤f(x)min，现证明ex≥x＋1恒成立，设g(x)＝ex－x－1，g′(x)＝ex－1，当g′(x)＝0时，解得x＝0，当x<0时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x>0时，g′(x)>0，g(x)单调递增，故当x＝0时，函数g(x)取得最小值，g(0)＝0，所以g(x)≥g(0)＝0，即ex－x－1≥0⇔ex≥x＋1恒成立，f(x)＝e2x－－1＝－1＝－1≥－1＝1，所以f(x)min＝1，即a≤1．所以实数a的取值范围是(－∞，1]．(2)已知函数f(x)＝ex－ax－1，g(x)＝lnx－ax－1，其中0<a<1，e为自然对数的底数，若∃x0∈(0，＋∞)，使f(x0)g(x0)>0，则实数a的取值范围是________．答案解析令M(x)＝ex－x－1，x∈(0，＋∞)，则M′(x)＝ex－1，当x∈(0，＋∞)时，M′(x)>0，所以M(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以M(x)>M(0)＝0，所以ex>x＋1．由于0<a<1，所以当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝ex－ax－1>0，故若∃x0∈(0，＋∞)，使f(x0)g(x0)>0，转化为∃x0∈(0，＋∞)，g(x0)>0，则g(x0)＝lnx0－ax0－1>0，即a<－．令h(x)＝－，h′(x)＝．当x∈(0，e2)时，h′(x)>0，当x∈(e2，＋∞)时，h′(x)<0，所以函数h(x)在(0，e2)上单调递增，在(e2，＋∞)上单调递减．所以h(x)≤h(e2)＝－＝．所以0<a<，即a∈．[例2]函数f(x)＝ln(x＋1)－ax，g(x)＝1－ex．(1)讨论函数f(x)的单调性；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)若f(x)≥g(x)在x∈[0，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．解析(1)函数f(x)的定义域为x∈(－1，＋∞)，f′(x)＝－a＝．(ⅰ)当a＝0时，f′(x)>0，f(x)在(－1，＋∞)上单调递增；(ⅱ)当a≠0时，令f′(x)＝0得x＝＝－1，若a<0，则－1<－1，若a>0，则－1>－1．①当a<0时，f′(x)＝－a>0，函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增；当a>0时，f′(x)＝，所以当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，综上可得，当a≤0时，f(x)在(－1，＋∞)上单调递增；当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减．(2)设函数h(x)＝f(x)－g(x)＝ln(x＋1)＋ex－ax－1，x≥0，则h′(x)＝＋ex－a，当a≤2时，由ex≥x＋1得h′(x)＝＋ex－a≥＋x＋1－a≥0，于是，h(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以h(x)≥h(0)＝0恒成立，符合题意；当a>2时，由于x≥0，h(0)＝0，令函数m(x)＝h′(x)，则m′(x)＝－＋ex(x≥0)．所以m′(x)≥0，故h′(x)在[0，＋∞)上单调递增，而h′(0)＝2－a<0．则存在一个x0>0，使得h′(x0)＝0，所以当x∈[0，x0)时，h(x)单调递减，故h(x0)<h(0)＝0，不符合题意．综上，实数a的取值范围为(－∞，2]．[例3]已知函数f(x)＝ex－a．(1)若函数f(x)的图象与直线l：y＝x－1相切，求a的值；(2)若f(x)－...