小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第27讲多元最值问题知识梳理解决多元函数的最值问题不仅涉及到函数、导数、均值不等式等知识，还涉及到消元法、三角代换法、齐次式等解题技能．必考题型全归纳题型一：消元法例1．（2024·全国·高三专题练习）已知正实数x，y满足，则的最大值为______.【答案】/【解析】由得，所以，则，因为，，，所以，令，则，所以在上单调递增，所以由，即，得，所以，所以，令，则，令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即的最大值为．故答案为：．例2．（2024·广东梅州·高三五华县水寨中学校考阶段练习）已知实数满足：小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com，则的最大值为___________.【答案】【解析】由已知得，，令，则，在上单调递增，又因为，所以，，令所以，则当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以.故答案为：.例3．（2024·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）对任给实数,不等式恒成立,则实数的最大值为__________.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【答案】【解析】因为对任给实数,不等式恒成立，所以，令，则，，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以当时，取得最小值，，所以实数的最大值为故答案为：题型二：判别式法例4．（2024·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期中）若，，则当______时，取得最大值，该最大值为______.【答案】//【解析】令，则，则，即，由，解得：，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com故，故，解得：，，所以当且仅当，时，等号成立，故答案为：，例5．（2024·全国·高三竞赛）在中，，则的最大值为_______________．【答案】【解析】令，则，即．因为，所以，整理得，，化简得，于是，得，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以的最大值为．故答案为：.例6．（2024·高一课时练习）设非零实数a，b满足，若函数存在最大值M和最小值m，则_________.【答案】2【解析】化简得到，根据和得到，解得答案.，则，则，即，，故，，即，即，.故答案为：2.变式1．（2024·江苏·高三专题练习）若正实数满足，则的最大值为________．【答案】【解析】令，则，即，因此小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com，解得：，当时，，因此的最大值为故答案为：变式2．（2024·全国·高三专题练习）设，，若，且的最大值是，则___________.【答案】4【解析】令=d，由消去a得：，即，而，，则，，，依题意，解得.故答案为：4题型三：基本不等式法例7．设x、y、z是不全是0的实数.则三元函数的最大值是_____.【答案】【解析】引入正参数λ、μ.因为，，所以，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com，.两式相加得.令，得，故.因此，的最大值为.例8．（2024·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）若实数满足，则的最大值为________.【答案】【解析】由，得，设，其中.则，从而，记，则，不妨设，则,当且仅当，即时取等号，即最大值为.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com故答案为：.例9．（2024·全国·高三专题练习）已知正数，则的最大值为_________．【答案】【解析】（当且仅当，时取等号），的最大值为.故答案为：.题型四：辅助角公式法例10．（2024·江苏苏州·高三统考开学考试）设角、均为锐角，则的范围是______________．【答案】【解析】因为角、均为锐角，所以的范围均为，所以，所以因为，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以，，当且仅当时取等，令，，，所以.则的范围是：.故答案为：例11．的取值范围是．【答案】【解析】因为，所以，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com令，则，则，所以，（当且仅当即时取等）；且，（当且仅当即时取等）．故的取值范围为．题型五：柯西不等式法...