小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第29讲三角恒等变换知识梳理知识点一．两角和与差的正余弦与正切①；②；③；知识点二．二倍角公式①；②；③；知识点三：降次（幂）公式知识点四：半角公式知识点五．辅助角公式asinα+bcosα=√a2+b2sin(α+ϕ)（其中sinϕ=b√a2+b2，cosϕ=a√a2+b2，tanϕ=ba）．【解题方法总结】1、两角和与差正切公式变形tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；tanα⋅tanβ=1−tanα+tanβtan(α+β)=tanα−tanβtan(α−β)−1．2、降幂公式与升幂公式sin2α=1−cos2α2；cos2α=1+cos2α2；sinαcosα=12sin2α；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com1+cos2α=2cos2α；1−cos2α=2sin2α；1+sin2α=(sinα+cosα)2；1−sin2α=(sinα−cosα)2．3、其他常用变式sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α；cos2α=cos2α−sin2αsin2α+cos2α=1−tan2α1+tan2α；tanα2=sinα1+cosα=1−cosαsinα．4、拆分角问题：①；；②；③；④；⑤．注意：特殊的角也看成已知角，如．必考题型全归纳题型一：两角和与差公式的证明例1．（浙江省绍兴市2024学年高一下学期6月期末数学试题）为了推导两角和与差的三角函数公式，某同学设计了一种证明方法：在直角梯形ABCD中，，，点E为BC上一点，且，过点D作于点F，设，.(1)利用图中边长关系，证明：；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)若，求.【解析】（1）在中，，，，则，在中，，，，则，在中，，，则，依题意，四边形是矩形，则，所以.（2）由及（1）知，，则，而为锐角，即有，，又是锐角，于是，所以.例2．（2024·辽宁·高一辽宁实验中学校考期中）某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：①；②根据以上研究结论，回答：(1)在①和②中任选一个进行证明：(2)求值：.【解析】（1）若选①，证明如下：小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com.若选②，证明如下：.（2）由题，，因为，则，所以由公式②及正弦的二倍角公式得，又因为，所以，所以，整理得解得或，又，所以.例3．（2024·全国·高三专题练习）(1)试证明差角的余弦公式：；(2)利用公式推导：①和角的余弦公式，正弦公式，正切公式；②倍角公式，，.【解析】(1)不妨令.如图，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com设单位圆与轴的正半轴相交于点，以轴非负半轴为始边作角，它们的终边分别与单位圆相交于点，，.连接.若把扇形绕着点旋转角，则点分别与点重合.根据圆的旋转对称性可知，与重合，从而，＝，∴.根据两点间的距离公式，得：，化简得：当时，上式仍然成立.∴，对于任意角有：.(2)①公式的推导：.公式的推导：小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com正切公式的推导：②公式的推导：由①知，.公式的推导：由①知，.公式的推导：由①知，.变式1．（2024·全国·高三专题练习）如图，考虑点，，，，从这个图出发.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（1）推导公式：；（2）利用（1）的结果证明：，并计算的值.【解析】（1）因为，根据图象，可得，即，即.即.（2）由（1）可得，①②由①+②可得：所以，所以.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com变式2．（2024·广东揭阳·高三统考期中）在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向量的有关知识来研究，在一定程度上可以简化推理过程．如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式：．具体过程如下：如图，在平面直角坐标系内作单位圆，以为始边作角，．它们的终边与单位圆的交点分别为A，B．则，，由向量数量积的坐标表示，有．设，的夹角为，则，另一方面，由图（1）可知，；由图（2）可知，于是，．所以，也有；所以，对于任意角，有：．此公式给出了任意角，的正弦、余弦值与其差角的余弦值之间的关系，称为差小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳...