小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题10复数及其应用（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）知识点1复数的基本概念1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b．2、复数的分类：3、复数的有关概念复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)复数的模向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R)知识点2复数的几何意义1、复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面；2、实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com3、复数的几何表示：复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面向量．知识点3复数的四则运算1、复数的运算法则设，(a，b，c，d∈R)，则（1）z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；（2）z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；（3）z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；（4）．2、复数运算的几个重要结论（1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)．（2）·z＝|z|2＝||2．（3）若z为虚数，则|z|2≠z2．（4）(1±i)2＝±2i．（4）＝i；＝－i．（5）i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i．知识点4复数的三角形式1、复数的辅角（1）辅角的定义：设复数z=a+bi的对应向量为⃗OZ，以x轴的非负半轴为始边，向量⃗OZ所在的射线（射线OZ）为终边的角θ，叫做复数z的辅角．（2）辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．规定：其中在0≤θ<2π范围内的辅角θ的值为辅角的主值，通常记作argz．【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的．2、复数的三角形式及运算（1）定义：任何一个复数都可以表示成z=r(cosθ+isinθ)的形式，其中r是复数的模，θ是复数的辅角．【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连．（2）复数乘法运算的三角表示：已知z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)，则z1z1=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]．这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和．（3）复数除法运算的三角表示：已知z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)则z1z2=r1(cosθ1+isinθ1)r2(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1−θ2)+isin(θ1−θ2)]．这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差．重难点01与复数有关的最值问题求复数模的范围与最值问题的解题策略（1）把复数问题实数化、直观化、熟悉化，即将复数问题转化为实数问题来处理，转化为实数范围内，求模的范围与最值问题来解决；（2）发掘问题的几何意义，利用几何图形的直观性来解答，把陌生的问题转化为熟悉的问题来解答；（3）利用三角函数解决．【典例1】（2024·山东烟台·三模）若复数z满足，则的最小值为（）A．1B．C．D．2【典例2】（2024·云南·二模）已知为虚数单位，复数z满足，则的最小值为（）A．B．C．D．0重难点02共轭复数与复数运算的综合问题共轭复数问题的求解技巧：1、若复数的代数式已知，则根据共轭复数的定义，可以写出，再进行复数的四则运算．2、已知关于和的方程，而复数的代数形式位置，求解.解决此类问题的常规思路是：设，则，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程（组）求解．【典例1】（2024·福建泉州·一模）（多选）已知复数z满足，则（）A．B．C．D．【典例2】（23-24高三下·湖南娄底·阶段练习）（多选）已知复数的共轭复数分别为，下列结论正确的是（）A．若为纯虚数，则B．若，则C．若，则D．若，则在复平而内对应的点的轨迹为直线小学、初中、高中...