§1.4基本不等式第一章集合、常用逻辑用语、不等式1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基本不等式在实际问题中的应用.考试要求内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练落实主干知识第一部分知识梳理1.基本不等式：ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的件：条.(2)等成立的件：且号条当仅当，等成立时号.(3)其中叫做正数a，b的算平均，术数叫做正数a，b的几何平均数.a>0，b>0a＝ba＋b2ab知识梳理2.几重要的不等式个(1)a2＋b2≥(a，b∈R).(2)≥(a，b同号).(3)ab≤(a，b∈R).(4)≥(a，b∈R).以上不等式等成立的件均号条为a＝b.2abba＋ab2a＋b22a2＋b22a＋b22知识梳理3.利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正，如果数积xy等于定值P，那么当x＝y，和时x＋y有最小值.(2)已知x，y都是正，如果和数x＋y等于定值S，那么当x＝y，时积xy有最大值.注意：利用基本不等式求最足三件值应满个条“一正、二定、三相等”.2P14S2思考辨析判下列是否正确断结论(在括中打请号“√”或“×”)(1)不等式ab≤a＋b22与ab≤a＋b2等成立的件是相同的号条.()(2)y＝x＋1x的最小是值2.()(3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则xy的最小值为4.()(4)函数y＝sinx＋4sinx，x∈0，π2的最小值为4.()××√×教材改编题1.若正实数a，b足满a＋4b＝ab，则ab的最小值为A.16B.8C.4D.2√因正为实数a，b足满a＋4b＝ab，所以ab＝a＋4b≥24ab＝4ab，所以ab≥16，且当仅当a＝4b，即a＝8，b＝2等成立时号.教材改编题2.函数y＝x＋1x＋1(x≥0)的最小值为_____.1因为x≥0，所以x＋1>0，1x＋1>0，利用基本不等式得y＝x＋1x＋1＝x＋1＋1x＋1－1≥2x＋1·1x＋1－1＝1，且当仅当x＋1＝1x＋1，即x＝0，等成立时号.所以函数y＝x＋1x＋1(x≥0)的最小值为1.教材改编题3.若把总长为20m的笆成一矩形地，矩形地的最大面是篱围个场则场积_____m2.25教材改编题矩形的一设边为xm，面积为ym2，另一则边为12×(20－2x)＝(10－x)m，其中0<x<10，∴y＝x(10－x)≤x＋10－x22＝25，且当仅当x＝10－x，即x＝5，等成立，时号∴ymax＝25，即矩形地的最大面是场积25m2.探究核心题型第二部分命题点1配凑法题型一利用基本不等式求最值例1(1)已知x>2，函则数y＝x＋12x－2的最小是值A.22B.22＋2C.2D.2＋2√由意可知，题x－2>0，∴y＝(x－2)＋12x－2＋2≥2x－2·12x－2＋2＝2＋2，且当仅当x＝2＋22，等成立，时号∴函数y＝x＋12x－2(x>2)的最小值为2＋2.(2)设0<x<32，函则数y＝4x(3－2x)的最大值为_____.92 0<x<32，∴3－2x>0，y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22x＋3－2x22＝92，且当仅当2x＝3－2x，即x＝34，等成立时号. 34∈0，32，∴函数y＝4x(3－2x)0<x<32的最大值为92.例2已知x>0，y>0，且4x＋2y－xy＝0，则2x＋y的最小值为A.16B.8＋42C.12D.6＋42命题点2常数代换法√由意可知题2x＋4y＝1，∴2x＋y＝(2x＋y)2x＋4y＝8xy＋2yx＋8≥28xy·2yx＋8＝16，且当仅当8xy＝2yx，即x＝4，y＝8，等成立，时号则2x＋y的最小值为16.命题点3消元法例3(2023·烟台模拟)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为_____.6方法一(元消元换法)由已知得9－(x＋3y)＝xy＝13·x·3y≤13·x＋3y22，且当仅当x＝3y，即x＝3，y＝1取等时号.即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，得t≥6，即x＋3y的最小值为6.方法二(代入消元法)由x＋3y＋xy＝9，得x＝9－3y1＋y，所以x＋3y＝9－3y1＋y＋3y＝9－3y＋3y1＋y1＋y＝9＋3y21＋y＝31＋y2－61＋y＋121＋y＝3(1＋y)＋121＋y－6≥231＋y·121＋y－6＝12－6＝6，且当仅当3(1＋y)＝121＋y，即y＝1，x＝3取等，时号所以x＋3y的最小值为6.延伸探究本例件不，求条变xy的最大值.9－xy＝x＋3y≥23xy，∴9－xy≥23xy，令xy＝t，∴t>0，∴9－t2≥23t，即t2＋23t－9≤0，解得0<t≤3，∴xy≤3，∴xy≤3，且当仅当x＝3y，即x＝3，y＝1取等，时号∴xy的最大...