第三章一元函数的导数及其应用§3.5利用导数研究恒(能)成立问题恒(能)成立问题是高考的常考考点，其中不等式的恒(能)成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查学生分析问题、解决问题的能力，一般作为压轴题出现，试题难度略大.考试要求题型一分离参数求参数范围例1已知函数f(x)＝ex－ax－1.(1)当a＝1，求时f(x)的；单调区间与极值当a＝1，时f(x)＝ex－x－1，所以f′(x)＝ex－1，当x<0，时f′(x)<0；当x>0，时f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，0)上，在单调递减(0，＋∞)上增，单调递所以当x＝0，函时数f(x)有小极值f(0)＝0，无大极值.即f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，增单调递区间为(0，＋∞)，小极值为0，无大极值.(2)若f(x)≤x2在[0，＋∞)上有解，求实数a的取范值围.因为f(x)≤x2在[0，＋∞)上有解，所以ex－x2－ax－1≤0在[0，＋∞)上有解，当x＝0，不等式成立，此时时a∈R，当x>0，不等式等价于时a≥exx－x＋1x在(0，＋∞)上有解，令g(x)＝exx－x＋1x，则g′(x)＝exx－1x2－x2－1x2＝x－1[ex－x＋1]x2，由(1)知当a＝1，时f(x)>f(0)＝0，即ex－(x＋1)>0，所以当0<x<1，时g′(x)<0；当x>1，时g′(x)>0，所以g(x)在(0,1)上，在单调递减(1，＋∞)上增，单调递所以当x＝1，时g(x)min＝e－2，所以a≥e－2，上可知，综实数a的取范是值围[e－2，＋∞).思维升华分离法解恒参数决(能)成立的策略问题(1)分离量，造函，直接把化函的最变构数问题转为数值问题.(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min；a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max.思维升华跟踪训练1(2023·州苏质检)已知函数f(x)＝ax－ex(a∈R)，g(x)＝.(1)当a＝1，求函时数f(x)的；极值lnxx当a＝1，时f(x)＝x－ex，则f′(x)＝1－ex，当x<0，时f′(x)>0，当x>0，时f′(x)<0，所以函数f(x)在(－∞，0)上增，在单调递(0，＋∞)上，单调递减所以函数f(x)的大极值为f(0)＝－1，无小极值.(2)若存在x∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex成立，求实数a的取范值围.若存在x∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex成立，则ax≤lnxx(x>0)，即a≤lnxx2(x>0)，化则问题转为a≤lnxx2max(x>0)，令h(x)＝lnxx2，x>0，h′(x)＝x－2xlnxx4＝1－2lnxx3，当0<x<e，时h′(x)>0，当x>e，时h′(x)<0，所以函数h(x)在(0，e)上增，在单调递(e，＋∞)上，单调递减所以h(x)max＝h(e)＝12e，所以a≤12e.题型二等价转化求参数范围例2(2023·柳州模拟)已知函数f(x)＝ax－lnx.(1)函讨论数f(x)的性；单调f′(x)＝a－1x＝ax－1x(x>0)，①当a≤0，时f′(x)<0恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)上；单调递减②当a>0，令时f′(x)>0，得x>1a，令f′(x)<0，得0<x<1a，∴f(x)在1a，＋∞上增，在单调递0，1a上单调递减.上，综当a≤0，时f(x)在(0，＋∞)上；单调递减当a>0，时f(x)在1a，＋∞上增，在单调递0，1a上单调递减.(2)若x＝1函为数f(x)的点，极值当x∈[e，＋∞)，不等式时x[f(x)－x＋1]≤m(e－x)恒成立，求实数m的取范值围. x＝1函为数f(x)的点，极值∴f′(1)＝0，∴a＝1.f(x)＝x－lnx，x[f(x)－x＋1]＝x(1－lnx)，当x∈[e，＋∞)，不等式时x[f(x)－x＋1]≤m(e－x)⇔x(1－lnx)≤m(e－x)，即x(1－lnx)－m(e－x)≤0，令g(x)＝x(1－lnx)－m(e－x)，g(e)＝0，g′(x)＝m－lnx，x∈[e，＋∞)，若m≤1，g′(x)≤0在[e，＋∞)上恒成立，∴g(x)≤g(e)＝0足意满题.若m>1，由g′(x)>0，可得e≤x<em，则g(x)在[e，em)上单调递增，∴在[e，em)上存在x0使得g(x0)>g(e)＝0，意不符，与题上，综实数m的取范值围为m≤1.思维升华根据不等式恒成立造函化成求函的最，一般需构数转数值问题讨论范，借助函性求解参数围数单调.思维升华跟踪训练2(2023·模宝鸡拟)已知函数f(x)＝ex＋aln(－x)＋1，f′(x)是其函，其中导数a∈R.(1)若f(x)在(－∞，0)上，求单调递减a的取范；值围f′(x)＝ex＋ax，因为f(x)在(－∞，0)上单调递，减所以f′(x)＝ex＋ax≤0在(－∞，0)上恒成立，即a≥－x·ex在(－...