§6.6数列中的综合问题第六章数列数列的综合运算问题以及数列与函数、不等式等知识的交汇问题，是历年高考的热点内容.一般围绕等差数列、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项公式、前n项和公式等.考试要求例1(2023·厦模门拟)已知列数{an}的前n和项为Sn，且，增的等比列递数{bn}足满b1＋b4＝18，b2·b3＝32.(1)求列数{an}，{bn}的通公式；项题型一等差数列、等比数列的综合运算Sn＝32n2＋12n当n≥2，时an＝Sn－Sn－1＝32n2＋12n－32n－12＋12n－1＝3n－1，又 当n＝1，时a1＝S1＝2符合上式，∴an＝3n－1. b2b3＝b1b4，∴b1，b4是方程x2－18x＋32＝0的根，两又 b4>b1，∴解得b1＝2，b4＝16，∴q3＝b4b1＝8，∴q＝2，∴bn＝b1·qn－1＝2n.(2)若cn＝an·bn，n∈N*，求列数{cn}的前n和项Tn.＝4＋3221－2n－11－2－(3n－1)·2n＋1＝(4－3n)·2n＋1－8， an＝3n－1，bn＝2n，则cn＝(3n－1)·2n，∴Tn＝2·21＋5·22＋8·23＋11·24＋…＋(3n－1)·2n，2Tn＝2·22＋5·23＋8·24＋11·25＋…＋(3n－1)·2n＋1，式相得－将两减Tn＝2·21＋3(22＋23＋24＋…＋2n)－(3n－1)·2n＋1∴Tn＝(3n－4)·2n＋1＋8.思维升华列的合常等差、等比列合，者相互系、相互化，数综问题将数结两联转解答的方法：找通公式，利用性行化这类问题寻项质进转.思维升华跟踪训练1(2022·全甲卷国)记Sn列为数{an}的前n和项.已知＋n＝2an＋1.(1)明：证{an}是等差列；数2Snn由2Snn＋n＝2an＋1，得2Sn＋n2＝2ann＋n，①所以2Sn＋1＋(n＋1)2＝2an＋1(n＋1)＋(n＋1)，②②－①，得2an＋1＋2n＋1＝2an＋1(n＋1)－2ann＋1，化得简an＋1－an＝1，所以列数{an}是公差为1的等差列数.(2)若a4，a7，a9成等比列，求数Sn的最小值.得a27＝a4a9，由(1)知列数{an}的公差为1.由a4，a7，a9成等比列，数即(a1＋6)2＝(a1＋3)(a1＋8)，解得a1＝－12.所以Sn＝－12n＋nn－12＝n2－25n2＝12n－2522－6258，所以当n＝12或13，时Sn取得最小，最小－值值为78.题型二数列与其他知识的交汇问题命题点1数列与不等式的交汇例2(1)已知列数{an}足满a1＋12a2＋13a3＋…＋1nan＝n2＋n(n∈N*)，设数列{bn}足：满bn＝2n＋1anan＋1，列数{bn}的前n和项为Tn，若Tn<nn＋1λ(n∈N*)恒成立，则实数λ的取范值围为A.14，＋∞B.14，＋∞C.38，＋∞D.38，＋∞√列数{an}足满a1＋12a2＋13a3＋…＋1nan＝n2＋n，①当n≥2，时a1＋12a2＋13a3＋…＋1n－1an－1＝(n－1)2＋(n－1)，②①－②得1nan＝2n，故an＝2n2，当n＝1，时a1＝2也足上式满.列数{bn}足：满bn＝2n＋1anan＋1＝2n＋14n2n＋12＝141n2－1n＋12，则Tn＝141－122＋122－132＋…＋1n2－1n＋12＝141－1n＋12，由于Tn<nn＋1λ(n∈N*)恒成立，故141－1n＋12<nn＋1λ，整理得λ>n＋24n＋4，因为y＝n＋24n＋4＝141＋1n＋1在n∈N*上，单调递减故当n＝1，时n＋24n＋4max＝38，所以λ>38.(2)已知列数{an}足满a1＝37，3an,2an＋1，anan＋1成等差列数.①明：列证数1an－1是等比列，求数并{an}的通公式；项由已知得4an＋1＝3an＋anan＋1，因为a1＝37≠0，所以由推系可得递关an≠0恒成立，所以4an＝3an＋1＋1，即1an＋1－1＝431an－1.所以4an－4＝3an＋1－3，又因为1a1－1＝73－1＝43，所以列数1an－1是首项为43，公比为43的等比列，数所以an＝11＋43n.所以1an－1＝43n，②记{an}的前n和项为Sn，求：证1271－34n≤Sn<7528.由①可得an＝11＋43n≥143n－1＋43n＝37×34n－1，所以Sn≥37＋37×341＋…＋37×34n－1＝1271－34n，an＝11＋...