小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com§3.5利用导数研究恒(能)成立问题考试要求恒(能)成立问题是高考的常考考点，其中不等式的恒(能)成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查学生分析问题、解决问题的能力，一般作为压轴题出现，试题难度略大．题型一分离参数求参数范围例1已知函数f(x)＝ex－ax－1.(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间与极值；(2)若f(x)≤x2在[0，＋∞)上有解，求实数a的取值范围．解(1)当a＝1，时f(x)＝ex－x－1，所以f′(x)＝ex－1，当x<0，时f′(x)<0；当x>0，时f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，0)上，在单调递减(0，＋∞)上增，单调递所以当x＝0，函时数f(x)有小极值f(0)＝0，无大．极值即f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，增单调递区间为(0，＋∞)，小极值为0，无大．极值(2)因为f(x)≤x2在[0，＋∞)上有解，所以ex－x2－ax－1≤0在[0，＋∞)上有解，当x＝0，不等式成立，此时时a∈R，当x>0，不等式等价于时a≥－在(0，＋∞)上有解，令g(x)＝－，则g′(x)＝－＝，由(1)知当a＝1，时f(x)>f(0)＝0，即ex－(x＋1)>0，所以当0<x<1，时g′(x)<0；当x>1，时g′(x)>0，所以g(x)在(0,1)上，在单调递减(1，＋∞)上增，单调递所以当x＝1，时g(x)min＝e－2，所以a≥e－2，上可知，综实数a的取范是值围[e－2，＋∞)．思维升华分离法解恒参数决(能)成立的策略问题(1)分离量，造函，直接把化函的最．变构数问题转为数值问题小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min；a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max.跟踪训练1(2023·州苏质检)已知函数f(x)＝ax－ex(a∈R)，g(x)＝.(1)当a＝1时，求函数f(x)的极值；(2)若存在x∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex成立，求实数a的取值范围．解(1)当a＝1，时f(x)＝x－ex，则f′(x)＝1－ex，当x<0，时f′(x)>0，当x>0，时f′(x)<0，所以函数f(x)在(－∞，0)上增，在单调递(0，＋∞)上，单调递减所以函数f(x)的大极值为f(0)＝－1，无小．极值(2)若存在x∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex成立，则ax≤(x>0)，即a≤(x>0)，化则问题转为a≤max(x>0)，令h(x)＝，x>0，h′(x)＝＝，当0<x<，时h′(x)>0，当x>，时h′(x)<0，所以函数h(x)在(0，)上增，在单调递(，＋∞)上，单调递减所以h(x)max＝h()＝，所以a≤.题型二等价转化求参数范围例2(2023·柳州模拟)已知函数f(x)＝ax－lnx.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若x＝1为函数f(x)的极值点，当x∈[e，＋∞)时，不等式x[f(x)－x＋1]≤m(e－x)恒成立，求实数m的取值范围．解(1)f′(x)＝a－＝(x>0)，①当a≤0，时f′(x)<0恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)上；单调递减②当a>0，令时f′(x)>0，得x>，令f′(x)<0，得0<x<，∴f(x)在上增，在上．单调递单调递减上，综当a≤0，时f(x)在(0，＋∞)上；单调递减当a>0，时f(x)在上增，在上单调递单调递．减(2) x＝1函为数f(x)的点，极值∴f′(1)＝0，∴a＝1.f(x)＝x－lnx，x[f(x)－x＋1]＝x(1－lnx)，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com当x∈[e，＋∞)，不等式时x[f(x)－x＋1]≤m(e－x)⇔x(1－lnx)≤m(e－x)，即x(1－lnx)－m(e－x)≤0，令g(x)＝x(1－lnx)－m(e－x)，g(e)＝0，g′(x)＝m－lnx，x∈[e，＋∞)，若m≤1，g′(x)≤0在[e，＋∞)上恒成立，则g(x)在[e，＋∞)上，单调递减∴g(x)≤g(e)＝0足意．满题若m>1，由g′(x)>0，可得e≤x<em，则g(x)在[e，em)上增，单调递∴在[e，em)上存在x0使得g(x0)>g(e)＝0，意不符，与题上，综实数m的取范值围为m≤1.思维升华根据不等式恒成立造函化成求函的最，一般需范，借构数转数值问题讨论参数围助函性求解．数单调跟踪训练2(2023·模宝鸡拟)已知函数f(x)＝ex＋aln(－x)＋1，f′(x)是其导函数，其中a∈R.(1)若f(x)在(－∞，0)上单调递减，求a的取值范围；(2)若不等式f(x)≤f′(x)对∀x∈(－∞，0)恒成立，求a的取值范围．解(1)f′(x)＝ex＋，因为f(x)在(－∞，0)上，单调递减所以f′(x)＝ex＋≤0在(－∞，0)上恒成...