小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题12运用空间向量研究立体几何问题（1）1、（2023年全国甲卷数学（理））在三棱柱中，，底面ABC，，到平面的距离为1．(1)求证：；(2)若直线与距离为2，求与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）如图，底面，面，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com，又，平面，,平面ACC1A1，又平面，平面平面，过作交于，又平面平面，平面，平面到平面的距离为1，，在中，，设，则，为直角三角形，且，，，，，解得，，（2），，过B作，交于D，则为中点，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com由直线与距离为2，所以，，，在，，延长，使，连接，由知四边形为平行四边形，，平面，又平面，则在中，，，在中，，，,又到平面距离也为1，所以与平面所成角的正弦值为.2、（2023年新课标全国Ⅰ卷）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(1)证明：；(2)点在棱上，当二面角为时，求．【答案】(1)证明见解析；(2)1【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，又不在同一条直线上，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com.（2）设，则，设平面的法向量，则，令，得，，设平面的法向量，则，令，得，，，化简可得，，解得或，或，3、（2023年新课标全国Ⅱ卷）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(1)证明：；(2)点F满足，求二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)．【详解】（1）连接，因为E为BC中点，，所以①，因为，，所以与均为等边三角形，，从而②，由①②，，平面，所以，平面，而平面，所以．（2）不妨设，，．，，又，平面平面．以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：设，设平面与平面的一个法向量分别为，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com二面角平面角为,而，因为，所以，即有，，取，所以；，取，所以，所以，，从而．所以二面角的正弦值为．4、（2023年全国乙卷数学(理)（文））如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.(1)证明：平面；(2)证明：平面平面BEF；(3)求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(3).【详解】（1）连接，设，则，，，则，解得，则为的中点，由分别为的中点，于是，即，则四边形为平行四边形，，又平面平面，所以平面.（2）由（1）可知，则，得，因此，则，有，又，平面，则有平面，又平面，所以平面平面.（3）过点作交于点，设，由，得，且，又由（2）知，，则为二面角的平面角，因为分别为的中点，因此为的重心，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com即有，又，即有，，解得，同理得，于是，即有，则，从而，，在中，，于是，，所以二面角的正弦值为.5、【2022年全国甲卷】在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=❑√3．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(1)证明：BD⊥PA；(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．【解析】(1)证明：在四边形ABCD中，作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，因为CD/¿AB,AD=CD=CB=1,AB=2，所以四边形ABCD为等腰梯形，所以AE=BF=12，故DE=❑√32，BD=❑√DE2+BE2=❑√3，所以AD2+BD2=AB2，所以AD⊥BD，因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PD⊥BD，又PD∩AD=D，所以BD⊥平面PAD，又因PA⊂平面PAD，所以BD⊥PA；(2)解：如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，BD=❑√3，则A(1,0,0),B(0,❑√3,0),P(0,0,❑√3)，则⃗AP=(−1,0,❑√3),⃗BP=(0,−❑√3,❑√3),⃗DP=(0,0,❑√3)，设平面PAB的法向量⃗n=(x,y,z)，则有{n→⋅AP→=−x+❑√3z=0n→⋅BP...