小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题11利用空间向量计算二面角的问题【方法总结】1．二面角(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝＜AB，CD＞．(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝|cos＜n1，n2＞|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．2．平面与平面的夹角如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos＜n1，n2＞|＝．3．利用空间向量计算二面角大小的常用方法(1)找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．【例题选讲】考点一棱柱(台)模型[例1](2021·全国甲)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1．(1)证明：BF⊥DE；(2)当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comBACA1B1C1DFE解析(1)接连AF， E，F分直三柱别为棱ABC－A1B1C1的棱AC和CC1的中点，且AB＝BC＝2，∴CF＝1，BF＝， BF⊥A1B1，A1B1∥AB，∴BF⊥AB，∴AF＝＝＝3，AC＝＝＝2，∴AB2＋BC2＝AC2，即BA⊥BC．故以B原点，为BA，BC，BB1所在直分线别为x，y，z建立如所示的空直角坐系，轴图间标则A(2，0，0)，B(0，0，0)，C(0，2，0)，E(1，1，0)，F(0，2，1)，设B1D＝m，则D(m，0，2)，∴BF＝(0，2，1)，DE＝(1－m，1，－2)， BF·DE＝0，∴BF⊥DE．BACA1B1C1DFExyz(2) AB⊥平面BB1C1C，∴平面BB1C1C的一法向量个为m＝(1，0，0)，由(1)知，DE＝(1－m，1，－2)，BF＝(－1，1，1)，平面设DFE的法向量为n＝(x，y，z)，有，即则令x＝3，则y＝m＋1，z＝2－m，故n＝(3，m＋1，2－m)，所以cos<n，m>＝＝＝．所以当m＝，面时BB1C1C面与DFE所成的二面角的余弦最大，此正弦最小值为时值为．[例2](2021·北京)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，点E为A1D1中点，直线B1C1交平面CDE于点F．(1)证明：点F为B1C1的中点；(2)若点M为棱A1B1上一点，且二面角M－CF－E的余弦值为，求的．值小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comBADCA1B1C1D1EFM解析如所示，取图B1C1的中点F′，连结DE，EF′，F′C，由于ABCD－A1B1C1D1正方体，为E，F′中点，故为EF′∥CD，而从E，F′，C，D，四点共面，所以平面CDE即平面CDEF′，据此可得，直线B1C1交平面CDE于点F′，直平面相交只有唯一的交点，故点当线与时F点与F′重合，即点F为B1C1中点．BADCA1B1C1D1EF(F1)M(2)以点D坐原点，为标DA，DC，DD1，方向分别为x，轴y，轴z正方形，建立空直角坐系轴间标Dxyz，BADCA1B1C1D1EFMxyz不妨正方体的设棱长为2，＝设λ(0≤λ≤1)，，则M(2，2λ，2)，C(0，2，0)，F(1，2，2)，E(1，0，2)，而，从MC＝(－2，2－2λ，－2)，CF＝(1，0，2)，FE＝(0，－2，0)，平面设MCF的法向量为m＝(x1，y1，z1)，所以即令z1＝－1，平面则MCF的一法向量个为m＝(2，，－1)．平面设CFE的法向量为n＝(x2，y2，z2)，所以即令z2＝－1，平面则CFE的一法向量个为n＝(2，0，－1)．而从m·n＝5，|m|＝，|n|＝，，则cos<n，m>＝＝＝．整理可得：(λ－1)2＝，故λ＝或(舍去）．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com[例3](2020·全国Ⅲ改编)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1．(1)证明：点C1在平面AEF内；(2)若AB＝2，AD＝1，AA1＝3，求平面AEF与平面EFA1夹角的正弦值．解析(1)设AB＝a，AD...