小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题08基本初等函数第四缉1．【2017年福建预赛】函数f(x)=❑√2x−7+❑√12−x+❑√44−x的最大值为.【答案】11【解析】由柯西不等式可知：(❑√2x−7+❑√12−x+❑√44−x)2=(❑√3⋅❑√2x−73+❑√2⋅❑√12−x2+❑√6⋅❑√44−x6)2⩽(3+2+6)(2x−73+12−x2+44−x6当且仅当❑√3❑√2x−73=❑√2❑√12−x2=❑√6❑√44−x6,即92x−7=412−x=3644−x,x=8时等号成立.所以f(x)的最大值为11.2．【2017年江西预赛】函数y=−4x+3❑√4x2+1的最小值是.【答案】❑√5【解析】提示：首先y>−4x+3❑√4x2=−4x+|6x|≥0又由(y+4x)2=9(4x2+1),即20x2−8xy+(9−y2)=0,根据判别式Δ=64y2−80(9−y2)≥0,即y2≥5,因y>0,则y≥❑√5,此值在x=1❑√5时取到.3．【2017年河南预赛】方程[x2]+[x3]+[x7]=x的最小的解为.(其中,[x]表示不超过x的最大整数).【答案】−85【解析】提示:设x=42p+q¿为整数,0≤q≤41).小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com将x代入原方程得p=[q2]+[q3]+[q7]−q.对于每个不同的q确定了唯一的有序数对(p,q),从而x也互不相同.又p=[q2]+[q3]+[q7]−q≥q−12+q−23+q−67−q=−q+8542≥−3.当且仅当q=41时,p=−3.此时x=−85.故最小的解为−85.4．【2017年湖北预赛】设函数f(x)=x3+ax2+bx+c(x∈R),其中a,b,c为互不相同的非零整数,且f(a)=a3,f(b)=b3,则a+b+c=¿.【答案】18【解析】提示：设g(x)=f(x)−x3=ax2+bx+c.由题意得g(a)=g(b)=0,故g(x)=a(x−a)(x−b),所以b=−a(a+b),c=a2b.所以b=−a2a+1=1−a−1a+1.因为b为整数,所以a+1=±1.又a≠0,则a=−2,b=4,c=16,故a+b+c=18.5．【2017年湖北预赛】设函数f(x)=(12)x+(23)x+(56)x,x∈¿,则该函数图象上整点的个数为.【答案】453【解析】提示:易知函数f(x)在¿上单调递减,且f(0)=3,f(1)=¿2,f(3)=1.当x>3时,有0<f(x)<f(3)=1,所以,函数y=f(x)¿的图象上整点的个数为3.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com6．【2017年四川预赛】已知函数f(x)=25x25x+5,则∑k=12016f(k2017)=¿.【答案】1008【解析】提示:因为0<x1,x2<1,x1+x2=1时,都有f(x1)+f(x2)=¿1,所以原式¿1008.7．【2017年陕西预赛】设函数f(x)=ax2x+3,若f[f(x)]=x恒成立,则实数a的值为.【答案】−3【解析】提示：依题意,a⋅ax2x+32⋅ax2x+3+3=x,即(2a+6)x2+9x=a2x恒成立,所以{2a+6=0,9=a2,解得a=−3.8．【2017年陕西预赛】设方程xy=6(x+y)的全部正整数解为(x1,y1),(x2,y2),⋯,(xn,yn),则∑k=1n(xk+yk)=¿.【答案】290【解析】提示：原方程可化为(x−6)(y−6)=62=22⋅32,为22⋅32的正约数有(1+2)(1+2)=9个,且∑k=19[(xk−6)+(yk−6)]=2∑k=19(xk−6)=2×23−12−1×33−13−1=182,∑k=19(xk+yk)=182+2×9×6=290.9．【2017年甘肃预赛】已知函数f(x+1)为奇函数,函数f(x−1)为偶函数,且f(0)=2,则f(4)=¿.【答案】−2【解析】提示:因为f(x+1)为奇函数,所以f(x+1)=−f(−x+1),令x=−3得f(−2)=−f(4).又因为f(x−1)为偶函数,所以f(x−1)=f(−x−1),小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com令x=1得f(0)=f(−2).所以f(4)=−f(−2)=−f(0)=−2.10．【2017年贵州预赛】若函数f(x)=x3−6x2+9x在(3−a2,a)内有最大值,则实数a的取值范围是.【答案】¿【解析】提示：因为函数f(x)=x3−6x2+9x在x=1处取得极大值4,又f(x)=4⇒x=1或4,所以{3−a2<11<a≤4⇒❑√2<a≤4.11．【2017年贵州预赛】已知函数f(x)满足:f(2−x)=2−f(x)(x∈R),函数y=xx−1与y=f(x)的图象的交点为(xi,yi)(i=1,2,⋯,n),则∑i=1n(xi+yi)=¿.【答案】2n【解析】提示：因为f(2−x)=2−f(x)(x∈R),所以f(x)的图象关于点(1,1)对称,又函数y=xx−1的图象也关于点(1...