小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题13导数与极限第二辑1．【2018年广东预赛】设函数f(x)=ex−1−x.⑴求f(x)在区间[0,1n]（n为正整数）上的最大值bn；⑵令an=e1n−1−bn，pk=a2a4⋯a2ka1a3⋯a2k−1（n、k为正整数）.求证：p1+p2+⋯+pn<❑√2an+1−1.【答案】（1）bn=e1n−1−1n（2）见解析【解析】⑴因为f'(x)=ex−1，所以当x∈[0,1n]时，f'(x)≥0，即f(x)在[0,1n]上是增函数，故f(x)在[0,1n]上的最大值为bn=e1n−1−1n.⑵由⑴知an=e1n−1−bn=1n.因为(2k−1)(2k+1)(2k)2=4k2−14k2<1，所以[1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2k−1)2⋅4⋅⋯⋅(2k)]2=1⋅322⋅3⋅542⋅5⋅762⋅⋯⋅(2k−1)(2k+1)(2k)2⋅12k+1<12k+1.又容易证明1❑√2k+1<❑√2k+1−❑√2k−1.所以pk=a2a4⋯a2ka1a3⋯a2k−1=1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2k−1)2⋅4⋅⋯⋅(2k)<1❑√2k+1<❑√2k+1−❑√2k−1所以p1+p2+⋯+pn<(❑√3−1)+(❑√5−❑√3)+⋯+(❑√2n+1−❑√2n−1)=❑√2n+1−1=❑√2an+1−1.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com即p1+p2+⋯+pn<❑√2an+1−1.2．【2018年甘肃预赛】设函数f(x)=x−2x−alnx（a∈R,a>0）．（1）讨论f(x)的单调性；（2）如果f(x)有两个极值点x1和x2，我们记过点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线斜率为k．问：是否存在a，使得k=2−a？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析（2）不存在【解析】（1）f(x)的定义域为(0,+∞)，f'(x)=1+2x2−ax=x2−ax+2x2。令g(x)=x2−ax+2，其判别式Δ=a2−8。1.当0<a⩽2❑√2时，Δ⩽0,f'(x)⩾0，故f(x)在(0,+∞)上单调递增。2.当a>2❑√2时，Δ>0，g(x)=0的两根为x1=a−❑√a2−82,x2=a+❑√a2−82。当0<x<x1时，f'(x)>0；当x1<x<x2时，f'(x)<0；当x>x2时，f'(x)>0，故f(x)分别在(0,x1),(x2,+∞)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减。（2）由1知，a>2，因为f(x1)−f(x2)=(x1−x2)+2(x1−x2)x1x2−a(lnx1−lnx2)。所以k=1+2x1x2−alnx1−lnx2x1−x2又由1知，x1x2=2，于是小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comk=2−a⋅lnx1−lnx2x1−x2。若存在a使得k=2-a，则lnx1−lnx2x1−x2=1，即lnx1−lnx2=x1−x2，亦即x2−2x2+ln2−2lnx2=0(x2>❑√2)①再由1知，函数h(t)=t−2t−2lnt在(0,+∞)上单调递增，而x2>❑√2，所以x2−2x2+ln2−2lnx2>❑√2−2❑√2+ln2−2ln❑√2=0。这与①式矛盾。故不存在a，使得k=2-a.3．【2018年天津预赛】设f(x)=ex−cosx，x>0，正实数数列{an}满足a1=1，且当n≥2时f(an)=an−1.求证：⑴当n≥2时，an−1>an+an2；⑵∑k=1nak<2❑√n.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】⑴我们证明，当x＞0时，f(x)>x+x2.令g(x)=f(x)−x−x2，则有g'(x)=ex+sinx−1−2x，g''(x)=ex+cosx−2，g'''(x)=ex−sinx>1−sinx≥0.由g'''(x)>0知g''(x)单调递增，从而g''(x)>g''(0)=0.由g''(x)>0可知g'(x)单调递增，g'(x)>g'(0)=0.最后，由g'(x)>0可知g(x)单调递增，g(x)>g(0)=0这样我们就证明了f(x)>x+x2.利用这一点，立即得到an−1=f(an)>an+an2.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com⑵我们先对n用数学归纳法证明an≤1❑√n.当n=1时，a1=1，结论成立.假设当n=m-1时有am−1<1❑√m−1（其中m≥2）.如果am>1❑√m，则am−1>am+am2>1❑√m+1m.注意1❑√m−1−1❑√m=❑√m−❑√m−1❑√m(m−1)¿1(❑√m+❑√m−1)❑√m(m−1)<1m❑√m−1<1m.可知am−1>1❑√m−1，与归纳假设矛盾.因此am≤1❑√m.这样，当k≥1时有ak≤1❑√k<2❑√k+❑√k−1=2(❑√k−❑√k−1)，令k从1到n求和，就得到∑k=1nak<2❑√n.4．【2018年河北预赛】判断曲线f(x)=ex−1与曲线g(x)=lnx的公切线的条数，并说明理由.【答案】曲线f(x)=ex−1...
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