小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com2024年高二数学暑假自学提升课（人教A版2019选择性必修第一册）复习04讲三角形的重心、垂心、外心、内心、奔驰定理的应用（精讲+精练）①三角形的重心②三角形的垂心③三角形的外心④三角形的内心一、三角形的四心定义外心：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；内心：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等；重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；二、三角形的重心（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．（2）重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．重要结论：（1）设点是△所在平面内的一点，则当点是△的重心时，有或（其中为平面内任意一点）；（2）在向量的坐标表示中，若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、、，，则有.三、三角形的外接圆与外心小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．注：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．重要结论：若点是△的外心，则或；反之，若或，则点是△的外心。四、三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．重要结论：若点是△的内心，则有；反之，若，则点是△的内心．五、垂心三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心.重要结论：若是△的垂心，则或，反之，若HAHCHCHBHBHA或，则是△的垂心．六、奔驰定理奔驰定理：，则、、的面积之比等于奔驰定理证明：如图，令，即满足，，，故．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com①三角形的重心策略方法（1）点是△所在平面内的一点，则当点是△的重心时，有或（其中为平面内任意一点）；（2）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.【题型精练】一、单选题1．（23-24高一下·浙江绍兴·阶段练习）已知点是的重心，则（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据重心的性质和向量的线性运算求解.【详解】延长与交于点，根据重心的性质，为中点，且，于是由，可得.故选：C小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com2．（23-24高一下·山东·阶段练习）在中，为的重心，满足，则（）A．B．C．0D．【答案】C【分析】由题意作图，根据重心的几何性质，得到线段的比例关系，利用平面向量的运算，可得答案.【详解】设相交于点，为的重心，可得为中点，，，所以，所以.故选：C.3．（2024·全国·模拟预测）已知点是的重心，过点的直线与边分别交于两点，为边的中点．若，则（）A．B．C．2D．【答案】A【分析】由三角形重心的性质，结合向量的线性运算得到，再由三点共线，即可求解.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【详解】如图所示，由三角形重心的性质，可得，所以，所以，即，因为三点共线，可得，所以.故选：A．4．（22-23高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）在中，，G为的重心，若，则外接圆的半径为（）A．B．2C．D．【答案】C【分析】先由条件判定△ABC为等边三角形，再求得△ABC的边长，利用正弦定...