小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com考点31平面向量基本定理及坐标表示（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．【知识点】1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝.4．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0常用结论已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为；已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为..【核心题型】题型一平面向量基本定理的应用(1)用平面向量基本定理表示向量的是利用平行四形法或三角形法行向量的应实质边则则进加、或乘算．减数运小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)用平面向量基本定理解的一般思路是：先一基底，用基底件和决问题选择个并运该将条表示成向量的形式，再通向量的算解．结论过运来决【例题1】（2024·湖南衡阳·三模）在三角形中，点在平面内，且满足，条件，条件，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】由向量的线性运算法则可得，从而可判断充分性成立；令得，可判断必要性不成立.【详解】若，由向量的线性运算法则，可得，因为，所以，，所以，所以是的充分条件；若，令得，代入，得，由三点共线充要条件可知点，此时不成立，所以不是的必要条件.故选：A【变式1】（2024·河北·模拟预测）在边长为1的正三角形中，，，与交于点，则（）A．1B．0C．D．【答案】B【分析】设,根据平面向量的基本定理求出，再根据平小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com面向量的数量积运算即可求解.【详解】设,因为，所以,.因为三点共线,三点共线,所以,解得,所以.所以.故选:B.【变式2】（2023·陕西咸阳·模拟预测）在中，点是的中点，点在上，且，，则.【答案】小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【分析】根据平面向量共线定理的推论求出，再根据平面向量基本定理求出、，即可得解.【详解】依题意，又点在上，且，所以，所以，解得，即，所以，又，所以，，所以.故答案为：【变式3】（2023·广东佛山·模拟预测）在中，，，M点为BC的中点，N点在线段AC上且，.(1)求AC；(2)若点P为AM与BN的交点，求的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用两次余弦定理建立方程求解即可；（2）把的余弦值转化为求，向量分解表示，利用数量积夹角公式求解即可.【详解】（1）在中，，，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com由余弦定理得，在中，，，，由余弦定理得，所以，即，解得；（2）由（1）知，又，所以，所以，又M点为BC的中点，所以，因为，所以，所以，又，且，所以题型二平面向量的坐标运算(1)利用向量的坐算解，主要是利用加法、法、乘算法，然后根据标运题减数运则“向两个量相等且的坐相等当仅当它们标对应”一原，化方程这则归为(组)行求解．进(2)向量的坐表示使向量算代化，成形合的体，可以使很多几何的解标运数为数与结载问题答化我熟知的量算．转为们数运【例题2】（2023·广东佛山·二模）已知的顶点，，，则顶点的坐标为（）A．B．C．D．...