小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）第08讲函数的奇偶性、周期性和对称性（精讲）①函数的奇偶性及其应用②函数的周期性③函数的对称性★④函数性质的综合应用一、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数关于轴对称奇函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数关于原点对称注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)．二、函数的对称性(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．(3)若，则函数关于对称．(4)若，则函数关于点对称．三、函数的周期性（1）周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.（2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做一、必备知识整合小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com的最小正周期.1.奇偶性技巧（1）若奇函数在处有意义，则有；（2）对于运算函数有如下结论：①奇奇=奇；②偶偶=偶；③奇偶=非奇非偶；④奇奇=偶；⑤奇偶=奇；⑥偶偶=偶.（3）常见奇偶性函数模型奇函数：①函数或函数．②函数．③函数或函数④函数或函数．注意：关于①式，可以写成函数或函数．偶函数：①函数．②函数．③函数类型的一切函数．2.周期性技巧小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com3.函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.4.对称性技巧（1）若函数关于直线对称，则．（2）若函数关于点对称，则．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．【题型一函数的奇偶性及其应用】1.判断函数奇偶性的方法(1)定法：义(2)象法：图(3)性法：质在公共定域有：奇义内±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2.已知函数奇偶性可以解决的三个问题二、考点分类精讲小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【典例1】（2023高三·全国·专题练习）判断下列函数的奇偶性．(1)；(2)；(3)；(4)【答案】(1)非奇非偶函数(2)偶函数(3)偶函数(4)奇函数【分析】由奇偶函数的定义判断（1）（2）（3），由奇函数的图象关于原点对称判断（4）.【详解】（1）原函数的定义域为，关于原点不对称，从而函数为非奇非偶函数．（2）由得，即函数的定义域是，关于原点对称．又，因此函数是偶函数．（3）的定义域为，关于原点对称．又，，所以既是奇函数又是偶函数．（4）如图，作出函数的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数为奇函数．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【典例2】已知是定义在R上的偶函数，且当时，.(1)求的解析式；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用偶函数的定义以及已知的解析式，求解即可；（2）利用偶函数的定义将不等式变形，然后利用单调性求解不等式即可.【详解】（1）当时，，，所以；（2）当时，，因此当时，该函数单调递增，因为是定义在R上的偶函数，且当时，该函数单调递增，所以由等价于，所以，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com因此，即，解得或，所以实数的取值范围是或.一、单选题1．（2024·北京通州·二模）下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】由奇函数的性质可判断A、D错误；由奇函数的性质和导数可得B正确；由正切函数的定义域可得C错误.【详解】A：因为，所以不是奇函数，故A错误；B：...