小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题23等差、等比数列及其前n项和目录01思维导图02知识清单03核心素养分析04方法归纳、等差数列及其前Ⅰn项和1.等差数列的概念(1)定义：一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列.其中d称为等差数列的公差.数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).(2)等差中项：如果①x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项，A＝.推广：若②{an}为等差数列，则2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N＋)成立.2.等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝.3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，也是等差数列….(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列.(6)若等差数列的项数为2n(n∈N＋)时，则S2n＝n(an＋an＋1)，且S偶－S奇＝nd，＝.(7)若等差数列的项数为2n－1(n∈N＋)时，则S2n－1＝(2n－1)an，且S奇－S偶＝an，S奇＝nan，S偶＝(n－1)an，＝.、等比数列及其前Ⅱn项和1.等比数列的概念(1)定义：如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即＝q恒成立，则称{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比.数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数).(2)等比中项：如果x，G，y是等比数列，则称G为x与y的等比中项，且G2＝xy.2.等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；通项公式的推广：an＝amqn－m.(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.3.等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.(1)若正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as·at＝apaq，特别地，如果2s＝p＋q，则a＝ap·aq.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，仍是等比数列，公比为…qm.(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，仍成等比数列，其公比为…qn.本专题在高考中占有重要地位，多以选择题，填空题的形式出现，在解答题中也会时常出现。题型一等差数列基本量的运算例1已知等差数列的前项和为，且，，则（）小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comA．B．1C．D．答案D分析根据给定条件，利用等差数列前项和公式及性质计算即得.解析在等差数列中，，解得，而，由，得.故选：D方法归纳(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称知三求二“”)．(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.题型二等差数列的判定与证明例2已知首项为1的数列的前项和为，且.(1)求证：数列为等差数列；(2)若，求数列的前项和.答案(1)证明见解析；(2).分析（1）根据给定条件，利用变形给定等式，再利用等差数列定义推理即得.（2）由（1）求出，进而求出，再按奇偶分类，利用分组求和法求解即得.解析（1）由，得，即，两边同加，得，则，因此数列为常数列，所以数列为等差数列.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（2）由（1）知，，则，，当为正奇数时，，；当为正偶数时，，，当为正奇数时，；当为正偶数时，，所以.方法归纳判断数列{an}是等差数列的常用方法(1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数．(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1.(3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数)．(4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．题型三等差数列的性质命题点1等差数列项的...