§2.9指、对、幂的大小比较[培优课]第二章函数指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置．命题点1利用函数的性质例1设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是A.a>c>bB.a>b>cC.c>b>aD.b>c>a题型一直接法比较大小34323443√2343因函为数y＝43x是增函，数所以<，即a<b，23433443又因函为数y＝在(0，＋∞)上增，单调递34x所以<，34433432所以b<c，故c>b>a.命题点2找中间值例2(2023·上模饶拟)已知a＝log53，b＝，c＝7－0.5，则a，b，c的大小系关为A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a122√因为1＝log55>log53>log55＝log5＝12，125即12<a<1，b＝>20＝1,7－0.5＝<＝12，12212171214即0<c<12，所以b>a>c.命题点3特殊值法例3已知a>b>1,0<c<，下列正确的是则结论A.ac<bcB.abc<bacC.alogbc<blogacD.logac<logbc12√取特殊，令值a＝4，b＝2，c＝14，则ac＝，bc＝，144142∴ac>bc，故A；错误abc＝4×＝，bac＝2×＝，142942144322∴abc>bac，故B；错误logac＝log414＝－1，logbc＝log214＝－2，alogbc＝－8，blogac＝－2，∴alogbc<blogac，logac>logbc，故C正确，D错误.思维升华利用特殊作值“中量间”在指、中通常可先数对数优选择“－1,0，，1”所比的对较数进行分，然后再行比，有可以化比的步，也有一些划进较时简较骤题目需要特殊的常所比的的行估，例如选择数对较数值进计log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，而可估进计log23是一个1～2之的小，而便于比间数从较.思维升华12跟踪训练1(1)已知a＝0.60.6，b＝lg0.6，c＝1.60.6，则A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b√因为y＝x0.6在(0，＋∞)上增，单调递所以1.60.6>0.60.6>0，又b＝lg0.6<lg1＝0，所以c>a>b.(2)已知a＝43，b＝log34，c＝3－0.1，则a，b，c的大小系关为A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.a>c>b√因为a＝43＝log3，＝34＝81>43＝64，43343(3)且函数y＝log3x在(0，＋∞)上增，单调递所以log3>log34，即a>b.又因为b＝log34>log33＝1，c＝3－0.1<30＝1，即b>c，所以a>b>c.433例4(1)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小系关为A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b题型二利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小1414151514log15√c＝15>14＝1，14log14log＝＝＝，b＝＝，1414152014120110241420151201625因为y＝在(0，＋∞)上单调增，且递11024<1625，120x所以a<b，又<16250＝1，即b<1，1201625所以a<b<c.(2)(2020·全国Ⅲ)已知55<84，134<85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b√ log53－log85＝log53－1log58＝log53·log58－1log58<log53＋log5822－1log58＝log52422－1log58<log52522－1log58＝0，∴log53<log85. 55<84，134<85，∴5log85<4，4<5log138，∴log85<log138，∴log53<log85<log138，即a<b<c.思维升华求同存法比大小异较如果指或的底相同，可通的大小指、两个数对数数则过真数与数函的性判出指或的大小系，要熟用指对数数单调断数对数关练运、公式、性，量比的象化某一部分相同的数对数质尽将较对转为情况.思维升华跟踪训练2(1)已知a＝2100，b＝365，c＝930(考参值lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)，则a，b，c的大小系是关A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>b>a√c＝930＝360，a＝2100⇒lga＝lg2100＝100lg2≈30.1，b＝365⇒lgb＝lg365＝65lg3≈31.0115，c＝930⇒lgc＝lg360＝60lg3≈28.626，所以lgb>lga>lgc，即b>a>c.(2)(2022·汝州模拟)已知a＝log63，b＝log84，c＝log105，则A.b<a<cB.c<b<aC.a<c<bD.a<b<c√由意得，题a＝log63＝log662＝1－log62＝1－1log26，b＝log84＝log882＝1－log82＝1－1log28，c＝log...