小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题18三角函数与解三角形第五缉1．【2021年吉林预赛】在△ABC中,¿⃑AB∨¿2,∨⃑AC∨¿3,⃑AB⋅⃑CA>0,且△ABC的面积为32,则∠BAC等于()A.150∘B.30°C.120°D.60°【答案】A【解析】△ABC的面积S△ABC=12×AB×AC×sin∠BAC=12×2×3×sin∠BAC=32,所以sin∠BAC=12,又由已知∠BAC为钝角.从而∠BAC=150°.选A.2．【2019年北京预赛】在平面直角坐标系中,已知两点A(cos110°,sin110°),B(cos50°,sin50°),则由坐标原点O到AB中点M的距离是A.12B.❑√22C.❑√32D.1【答案】C【解析】画草图,易知OA=1,OB=1,∠AOB=110°−50°=60°.所以,△AOB是正三角形｡所以,|AB|=1.由点O到AB中点M的距离是边长为1的正三角形的高线的长,即等于❑√32.3．【2019年吉林预赛】函数f(x)=(❑√3sinx+cosx)(❑√3cosx−sinx)的最小正周期是()A.π2B.23πC.πD.2π【答案】C小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【解析】f(x)=2sin(2x+π3).故f(x)的最小正周期是π.4．【2018年陕西预赛】若0<x<π2，且sin4x9+cos4x4=113，则tanx的值是（）A．12B．23C．1D．32【答案】D【解析】由柯西不等式(9+4)(sin4x9+cos4x4)≥(sin2x+cos2x)2，由取等条件知sin4x81=cos4x16⇒tanx=32.5．【2018年吉林预赛】已知f(x)=sinx2+cosx，则对任意x∈R，下列说法中错误的是（）A．f(x)≥13sinxB．|f(x)|≤|x|C．|f(x)|≤❑√33D．f(π+x)+f(π−x)=0【答案】A【解析】由f(x)≥13sinx得sinx¿，所以该式不一定成立，sinx有可能是负数，所以选项A错误；|f(x)|=|sinx||2+cosx|≤|sinx|≤|x|.所以选项B正确；|f(x)|=|sinx||2+cosx|=|sinx−0cosx−(−2)∨¿表示单位圆上的点和（-2,0）所在直线的斜率的绝对值，数形结合观察得到|f(x)|≤❑√33，所以选项C正确；f(π+x)+f(π−x)=−sinx2-cosx+sinx2-cosx=02-cosx=0，所以选项D正确.故答案为：A6．【2018年天津预赛】设f(x)=cos(ωx)的最小正周期为6，则f(1)+f(2)+⋯+f(2018)的值是（）.A．0B．1C．12D．❑√32【答案】A小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【解析】由最小正周期为6可知6ω=2π，即ω=π3.于是当k为整数时，f(6k+1)+f(6k+2)+f(6k+3)+f(6k+4)+f(6k+5)+f(6k+6)=0即每个完整周期内的6个函数值之和为零.注意2018=6×336+2，所以原式=f(1)+f(2)=cosπ3+cos2π3=0.故答案为：A7．【2018年四川预赛】函数y=(sinx−1)(cosx−1)2+sin2x(x∈R)的最大值为（）.A．❑√22B．1C．12+❑√22D．❑√2【答案】B【解析】因为y=sinx⋅cosx−(sinx+cosx)+12+2sinx⋅cosx，令t=sinx+cosx=❑√2sin(x+π4)∈[−❑√2,❑√2]，则sinx⋅cosx=12(1−t2)，于是y=12(t2−1)−t+12+(t2−1)=12−tt2+1.令g(t)=tt2+1(t∈−❑√2,❑√2)，则g'(t)=1−t2(t2+1)2.由g'(t)=0知t=−1或1.因为g(−❑√2)=−❑√23,g(−1)=−12,g(1)=12,g(❑√2)=❑√23，于是g(t)的最小值是g(−1)=−12，所以y的最大值是12−(−12)=1.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com故答案为:B8．【2017年辽宁预赛】△ABC的三个内角为A、B、C,若sin2A+sin2B+sin2C=2则cosA+cosB+2cosC的最大值为()(A)3❑√22(B)❑√5(C)4❑√33(D)❑√6【答案】B【解析】提示:若sin2A+sin2B+sin2C=2,则0=2−sin2A−sin2B−sin2C¿cos2A+cos2B−sin2(A+B)¿cos2A+cos2B−(sin2Acos2B+2sinAsinBcosAcosB+cos2Asin2B)¿cos2A(1−sin2B)+cos2B(1−sin2A)−2sinAsinBcosAcosB¿2cos2Acos2B−2sinAsinBcosAcosB¿2cosAcosB(cosAcosB−sinAsinB)¿2cosAcosBcos(A+B)¿−2cosAcosBcosC.所以,cosA,cosB、cosC中必有一个为0,即角A、B、C中必有一个为π2.如果cosA=0,则A=π2,B+C=π2....
