小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第80讲阿基米德三角形知识梳理如图所示，为抛物线的弦，，，分别过作的抛物线的切线交于点，称为阿基米德三角形，弦为阿基米德三角形的底边．xyPBFAO1、阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．2、若阿基米德三角形的底边即弦过抛物线内定点，则另一顶点的轨迹为一条直线．3、若直线与抛物线没有公共点，以上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．4、底边长为的阿基米德三角形的面积的最大值为．5、若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为．6、点的坐标为；7、底边所在的直线方程为8、的面积为．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com9、若点的坐标为，则底边的直线方程为．10、如图1，若为抛物线弧上的动点，点处的切线与，分别交于点C，D，则.11、若为抛物线弧上的动点，抛物线在点处的切线与阿基米德三角形的边，分别交于点C，D，则．12、抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的．图1必考题型全归纳题型一：定点问题例1．（2024·山西太原·高二山西大附中校考期末）已知点，，动点满足．记点的轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）设为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别是，．证明：直线过定点．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com例2．（2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知动圆恒过定点，圆心到直线的距离为．(1)求点的轨迹的方程；(2)过直线上的动点作的两条切线，切点分别为，证明：直线恒过定点．例3．（2024·全国·高二专题练习）已知平面曲线满足：它上面任意一定到的距离比到直线的距离小1.(1)求曲线的方程；(2)为直线上的动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为，证明：直线过定点；(3)在（2）的条件下，以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com变式1．（2024·陕西·校联考三模）已知直线l与抛物线交于A，B两点，且，，D为垂足，点D的坐标为．(1)求C的方程；(2)若点E是直线上的动点，过点E作抛物线C的两条切线，，其中P，Q为切点，试证明直线恒过一定点，并求出该定点的坐标．变式2．（2024·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”．对于抛物线C：给出如下三个条件：①焦点为；②准线为；③与直线相交所得弦长为2．(1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线C的方程；(2)已知是（1）中抛物线的“阿基米德三角形”，点Q是抛物线C在弦AB两端点处的两条切线的交点，若点Q恰在此抛物线的准线上，试判断直线AB是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请说明理由．变式3．（2024·湖北武汉·高二武汉市第四十九中学校考阶段练习）已知抛物线小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（a是常数）过点，动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．(1)求抛物线C的焦点坐标和准线方程；(2)当时，求直线AB的方程；(3)证明：直线AB过定点．变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知动点P在x轴及其上方，且点P到点的距离比到x轴的距离大1.（1）求点P的轨迹C的方程；（2）若点Q是直线上任意一点，过点Q作点P的轨迹C的两切线QA､QB，其中A､B为切点，试证明直线AB恒过一定点，并求出该点的坐标.题型二：交点的轨迹问题例4．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．(1)求抛物线的方程；(2)设点，为直线上一动点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点，求直线的方程，并证明直线过定点；(3)过（2）中的点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com线，，求，交点满足的轨迹方程．例5．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于、两点；椭圆的...