小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展08洛必达法则的应用（精讲+精练）一、前言在高中，涉及到求参数的取值范围时，参数分离后，有时会出现分子与分母之比为两个无穷小之比、两个无穷大之比或两个趋近于零的数之比。这个比值可能是定值也可能是不存在，这时如果我们要计算出他们的比值，就需要运用到洛必达法则。二、洛必达法则定义在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法，称为洛必达法则。三、法则形式1.法则1（型）：若函数和满足下列条件：（1）设当时，及；（2）在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数；（3）；则：.2.法则2（型）：若函数和满足下列条件：(1)及；(2)在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数；(3)，则：.一、知识点梳理小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com3.法则3（型）：若函数和满足下列条件：(1)及；(2)在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数；且；(3)，则：=.【特别提醒】（1）将上面公式中的换成洛必达法则也成立。（2）洛必达法则可处理型。（3）首先要检查是否满足型定式，否则用洛必达法会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。（5）高中阶段，洛必达法则一般是用来确定最值，方便解题。四、适用类型的转化（1）型的转化：或；（2）型的转化：（3）、型的转化：幂指函数类二、题型精讲精练小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【典例1】设函数（1）若，求的单调区间；（2）若当时，求的取值范围解：（1）时，，.当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加（II）由（I）知，当且仅当时等号成立.故，从而当，即时，，而，于是当时，.由可得.从而当时，，故当时，，而，于是当时，.综合得的取值范围为原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com另解:（II）当时，，对任意实数a,均在；当时，等价于令,则，令，则，，知在上为增函数，；知在上为增函数，；，g(x)在上为增函数。由洛必达法则知，，故，综上，知a的取值范围为【典例2】若不等式对于恒成立，求的取值范围.解：当时，原不等式等价于.记，则f'(x)=xcosx−sinxx2=cosx(x−tanx)x2.且时，，所以.因此在上单调递减（也就是x趋于0时，f（x）最大）小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com，.所以【典例3】（1）0∙∞型limx→0(xlnx)=limx→0+¿(lnx1x)=limx→0+¿(1x−1x2)=limx→0+¿(−x)=0¿¿¿¿¿¿技巧：将乘积中无穷或0取倒数进而变形到分母上，化为00或∞∞型【典例4】（2）∞－∞型limx→1(1x−1−1lnx)=limx→1(lnx−(x−1)(x−1)lnx)=limx→1(1x−1lnx+x−1x)=limx→1(−1x21x+1x2)=limx→1(−1x+1)=−12技巧：可将无穷通分，进而化为00型【典例5】（3）∞0型转化方法同上，∞0=eln∞0=e0·ln∞=e0·∞limx→∞(1+x)1x=limx→∞eln(1+x)1x=limx→∞e1x·ln(1+x)=elimx→∞ln(x+1)x=elimx→∞1x+11=elimx→∞1x+1=e0=1技巧：可利用对数性质℮lna=a，将函数化为以为℮底数的指数函数，转化为对指数求极限。转化方法如下：1∞=eln1∞=e∞·ln1=e∞·0，这样就化为了0∙∞型【题型训练】1.已知函数f(x)=ex−x−1,若当x≥0时,恒有|f(x)|≤mx2e|x|成立,求实数m的取值范围.【解析】因为f(x)=ex−x−1,所以f'(x)=ex−1,小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以当x∈(−∞,0)时,f'(x)<0,即f(x)递减,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,即f(x)递增.若当x≥0时,恒有|f(x)|≤mx2e|x|成立,即恒有0≤f(x)≤mx2ex成立,当x=0时,不等式恒成立.当x>0时,恒有0≤f(x)≤mx2ex成立,即m≥ex−x−1x2ex,令H(x)=ex−x−1x2ex,则H'(x)=x2−2ex+2x+2x3ex.今h(x)=x2−2ex+2x+2,则h'(x)=2x−2ex+2,进一步h''(...
