小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题19三角函数与解三角形第六缉1．【2021年江西预赛】锐角△ABC中，若cos2A,cos2B,cos2C的和等于sin2A,sin2B,sin2C中的某个值，证明：tanA,tanB,tanC必可按某顺序组成一个等差数列.【答案】证明见解析【解析】证明:不妨设cos2A+cos2B+cos2C=sin2B(1),据余弦定理:sin2B=sin2A+sin2C−2sinAsinCcosB(2),而sinAsinC=cosAcosC−cos(A+C)=cosAcosC+cosB(3),由(2)(3)得,cos2A+cos2B+cos2C=1−¿2cosAcosBcosC(4),由(1)(4)得,2cosAcosBcosC=1−sin2B=cos2B,因B为锐角,则2cosAcosC=cosB=¿−cos(A+C)=sinAsinC−cosAcosC,所以tanAtanC=3.于是tanB=−tan(A+C)=tanA+tanCtanAtanCtanA+tanc;因此,tanA,tanB,tanC成等差数列.2．【2021年新疆预赛】已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,求证:32≤a2b2+c2+b2c2+a2+c2a2+b2≤2(cos2A+cos2B+cos2C).【答案】证明见解析【解析】证明;a2b2+c2+b2c2+a2+c2a2+b2=(a2+b2+c2)⋅(1b2+c2+1c2+a2+1a2+b2)−3¿(b2+c2)+(c2+a2)+(a2+b2)2⋅(1b2+c2+1c2+a2+1a2+b2)−3≥33√(b2+c2)(c2+a2)(a2+b2)2⋅33√1b2+c2⋅1c2+a2⋅1a2+b2−3=92−3=32另一方面，由正弦定理和柯西不等式得：cos2A+cos2B=sin2Bcos2Asin2B+sin2Acos2Bsin2A小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com≥(sinAcosB+cosAsinB)2sin2A+sin2B=sin2Csin2A+sin2B=c2a2+b2.同理cos2B+cos2C≥a2b2+c2,cos2C+cos2A≥b2c2+a2,三式相加得：a2b2+c2+b2c2+a2+c2a2+b2≤2(cos2A+cos2B+cos2C)，综上，原不等式成立.3．【2020高中数学联赛A卷（第01试）】在△ABC中,sinA=❑√22.求cosB+❑√2cosC的取值范围.【答案】¿∪¿【解析】记f=cosB+❑√2cosC.由条件知A=π4或A=3π4.当A=π4时,B=3π4−C,其中0<C<3π4,此时f=cos(3π4−C)+❑√2cosC=❑√22sinC+❑√22cosC=sin(C+π4)∈¿.当A=3π4时,B=π4−C,其中0<C<π4,此时f=cos(π4−C)+❑√2cosC=❑√22sinC+3❑√22cosC=❑√5sin(C+φ),其中φ=arctan3.注意到φ∈(π4,π2),函数g(x)=❑√5sin(x+φ)在[0,π2−φ]上单调增,在[π2−φ,π4]上单调减,又g(0)=3❑√22>2=g(π4),g(π2−φ)=❑√5，故f∈¿.综上所述,f=cosB+❑√2cosC的取值范围是¿∪¿.4．【2020年甘肃预赛】已知△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边a,b,c成等比数列,2cos(A−C)−2cosB=1,延长BC至点D,使BD=5.求:(1)∠B的大小;(2)⃑AC⋅⃑CD的取值范围.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【答案】(1)∠B=π3；(2)(0,258].【解析】(1)由题意知cos(A−C)−cosB=12⇒cos(A−C)+cos(A+C)=12⇒cosA⋅cosC=14.①又b2=ac,则sin2B=sinA⋅sinC②故14−sin2B¿cosA⋅cosC−sinA⋅sinC¿cos(A+C)=−cosB⇒14−(1−cos2B)=−cosB⇒4cos2B+4cosB−3=0⇒cosB=12或cosB=−32¿舍去).又0<∠B<π2,从而,∠B=π3.(2)由(1)结论,①+②得cos(A−C)=14+sin2B=1.则∠A=∠C.故△ABC为等边三角形.设△ABC的边长为x.则0<x<5.故⃑AC⋅⃑CD=¿⃑AC∨¿⃑CD∨cos60°=12x(5−x)¿−12((x−52)2−254)∈(0,258],小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com当且仅当x=52时,上式等号成立.故⃑AC⋅⃑CD的取值范围是(0,258].5．【2020年甘肃预赛】已知函数f(x)=asinx(a∈R),g(x)=ex.（1）若0<a⩽1，判断F(x)=f(1−x)+lnx在区间(0,1)的单调性;(2)证明:sin122+sin132+⋯+sin1(n+1)2¿ln2¿(3)设G(x)=g(x)−mx2−2(x+1)+k(k∈Z),对任意的x>0,m<0,有G(x)>0恒成立,求k的最小值.【答案】(1)F(x)在区间(0,1)单调递增.(2)证明见解析；(3)2.【解析】(1)注意到，F(x)=asin(1−x)+lnx，F'(x)=−acos(1−x)+1x.由0<x<1⇒0<1−x<1⇒0<cos(1−x)<1又由0<a⩽1,知0<acos(1−x)⩽1.结合0<x<1,...
