§5.4平面向量的综合应用[培优课]第五章平面向量与复数题型一平面向量在几何中的应用例1(1)如，在图△ABC中，cos∠BAC＝14，点D在段线BC上，且BD＝3DC，AD＝152，则△ABC的面的最大积值为_______.15设△ABC的角内A，B，C所的分对边别为a，b，c，因为BD＝3DC，AD→＝14AB→＋34AC→，又AD＝152，cos∠BAC＝14，所以AD→2＝14AB→＋34AC→2＝116c2＋916b2＋38bccos∠BAC＝116c2＋916b2＋332bc，又154＝116c2＋916b2＋332bc＝14c2＋34b2＋332bc≥2×14c×34b＋332bc＝1532bc，且当仅当c＝3b，等成时号立.所以bc≤8，又sin∠BAC＝154，所以S△ABC＝12bcsin∠BAC≤12×8×154＝15.(2)(2022·天津)在△ABC中，CA→＝a，CB→＝b，D是AC的中点，CB→＝2BE→，用试a，b表示DE→为________，若AB→⊥DE→，则∠ACB的最大值为______．32b－12aπ6DE→＝CE→－CD→＝32b－12a，即3b2＋a2＝4a·b，AB→＝CB→－CA→＝b－a，由AB→⊥DE→得(3b－a)·(b－a)＝0，所以cos∠ACB＝a·b|a||b|＝3b2＋a24|a||b|≥23|a||b|4|a||b|＝32，且当仅当|a|＝3|b|取等，而时号0<∠ACB<π，所以∠ACB∈0，π6.思维升华思维升华用向量方法解平面几何的步决问题骤平面几何问题――――→向量设向量问题―――→算计解向量决问题―――→原还解几决何．问题跟踪训练1(1)在△ABC中，已知AB→|AB→|＋AC→|AC→|·BC→＝0，且AB→|AB→|·AC→|AC→|＝12，则△ABC为A.等三角形边B.直角三角形C.等腰三角形D.三均不相等的三角形边√AB→|AB→|，AC→|AC→|分表示别AB→，AC→方向上的位向量，单AB→|AB→|＋AC→|AC→|在∠A的角平分上，线 AB→|AB→|＋AC→|AC→|·BC→＝0，∴|AB→|＝|AC→|，又AB→|AB→|·AC→|AC→|＝12，∴cos〈AB→，AC→〉＝AB→|AB→|·AC→|AC→|＝12，则AB→与AC→的角夹为60°，即∠BAC＝60°，可得△ABC是等三角形边.(2)在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，D点足满CD→＝2DB→，AD＝37，则BC的长为A.37B.36C.33D.6√因为CD→＝2DB→，所以AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋13BC→＝AB→＋13(AC→－AB→)＝23AB→＋13AC→，设AB＝x，则AD→2＝23AB→＋13AC→2，得37＝49x2＋49×x×9cos60°＋19×92，即2x2＋9x－126＝0，因为x>0，故解得x＝6，即AB＝6，所以|BC→|＝|AC→－AB→|＝|AB→|2＋|AC→|2－2|AB→|·|AC→|cos60°＝62＋92－2×6×9×12＝37.题型二和向量有关的最值(范围)问题命题点1与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题例2如，在图△ABC中，点P足满2BP→＝PC→，点过P的直线与AB，AC所在的直分交于点线别M，N，若AM→＝xAB→，AN→＝yAC→(x>0，y>0)，则2x＋y的最小值为A.3B.32C.1D.13√由意知，题AP→＝AB→＋BP→＝AB→＋BC→3＝AB→＋AC→－AB→3＝2AB→3＋AC→3，又AM→＝xAB→，AN→＝yAC→(x>0，y>0)，∴AP→＝2AM→3x＋AN→3y，由M，P，N三点共，得线23x＋13y＝1，∴2x＋y＝(2x＋y)23x＋13y＝53＋2x3y＋2y3x≥53＋22x3y·2y3x＝3，且当仅当x＝y等成立时号.故2x＋y的最小值为3命题点2与数量积有关的最值(范围)问题例3已知在边长为2的正△ABC中，M，N分别为边BC，AC上的点，且动CN＝BM，则AM→·MN→的最大值为______．－43建立如所示的平面直角坐系，图标则B(－1,0)，C(1,0)，A(0，3)，则BC→＝(2,0)，CA→＝(－1，3)，设BM→＝tBC→(0≤t≤1)，则CN→＝tCA→(0≤t≤1)，则M(2t－1,0)，N(1－t，3t)，∴AM→＝(2t－1，－3)，MN→＝(2－3t，3t)，∴AM→·MN→＝(2t－1)×(2－3t)＋(－3)×(3t)＝－6t2＋4t－2＝－6t－132－43，当t＝13，时AM→·MN→取得最大－值43.命题点3与模有关的最值(范围)问题例4已知a，b是位向量，单a·b＝0，且向量c足满|c－a－b|＝1，则|c|的取范是值围A.[2－1，2＋1]B.[2－1，2]C.[2，2＋1]D.[2－2，2＋2]√a，b是位向量，单a·b＝0，设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，|c－a－b|＝|(x－1，y－1)|＝x－12＋y－12＝1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，|c|表示以(1,1)心，为圆1半的为径圆上的点到...