小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题19数列不等式恒成立与存在性问题小题考点一由数列不等式恒成立求参数【基本题型】[例1](1)已知数列{an}的首项a1＝a，其前n项和为Sn，且满足Sn＋Sn－1＝4n2(n≥2，n∈N*)，若对任意n∈N*，an<an＋1恒成立，则a的取值范围是______________．答案(3，5)解析由条件Sn＋Sn－1＝4n2(n≥2，n∈N*)，得Sn＋1＋Sn＝4(n＋1)2，两式相减，得an＋1＋an＝8n＋4，故an＋2＋an＋1＝8n＋12，两式再相减，得an＋2－an＝8，由n＝2，得a1＋a2＋a1＝16⇒a2＝16－2a，从而a2n＝16－2a＋8(n－1)＝8n＋8－2a；由n＝3，得a1＋a2＋a3＋a1＋a2＝36⇒a3＝4＋2a，从而a2n＋1＝4＋2a＋8(n－1)＝8n－4＋2a，由条件得解得3<a<5．(2)已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，其前n项和为Sn，若存在M∈Z，满足对任意的n∈N*，都有Sn<M恒成立，则M的最小值为________．答案1解析因为an＝＝＝－，所以Sn＝＋＋…＋＝1－，由于1－<1，所以M的最小值为1．(3)在数列{an}中，a1＋＋＋…＋＝2n－1(n∈N*)，且a1＝1，若存在n∈N*使得an≤n(n＋1)λ成立，则实数λ的最小值为________．答案解析由题意知，a1＋＋…＋＝2n－1，则n≥2时，有a1＋＋…＋＝2n－1－1，两式作差得，＝2n－2n－1＝2n－1，且＝21－1＝1，所以＝2n－1(n∈N*)，＝，令bn＝，则bn>0，＝＝>＝1，所以bn＋1>bn，数列{bn}是递增数列，数列{bn}的最小项是b1＝，依题意得，存在n∈N*使得λ≥＝bn成立，即有λ≥b1＝，λ的最小值是．(4)设数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，对于任意的n∈N*，an，Sn，a成等差数列，设数列{bn}的前n项和为Tn，且bn＝，若对任意的实数x∈(1，e](e为自然对数的底数)和任意正整数n，总有Tn<r(r∈N*)，则r的最小值为________．答案2解析由题意得，2Sn＝an＋a，当n≥2时，2Sn－1＝an－1＋a，∴2Sn－2Sn－1＝an＋a－an－1－a，∴(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0， an>0，∴an－an－1＝1，即数列{an}是等差数列，又2a1＝2S1＝a1＋a，a1＝1，∴an＝n(n∈N*)．又x∈(1，e]，∴0<lnx≤1，∴Tn≤1＋＋＋…＋<1＋＋＋…＋＝1＋＋＋…＋＝2－<2，∴r≥2，即r的最小值为2．(5)数列{an}满足a1＝，an＝(n∈N*)，若对n∈N*，都有k>＋＋…＋成立，则最小的整数k是()A．3B．4C．5D．6答案C解析由an＝，得an＝an＋1－1，∴＝＝－，即＝－，且an>1．∴＋＋…＋＝＋＋…＋＝－，∴＋＋…＋＝5－<5．又对n∈N*，都有k>＋＋…＋成立，∴k≥5．故最小的整数k是5．(6)已知数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且an>0，2Sn＝a＋an，bn＝，若k>Tn恒成立，则k的最小值为()A．B．C．1D．答案C解析 2Sn＝a＋an，①，且an>0，∴当n＝1时，2S1＝a＋a1，解得a1＝1或a1＝0(舍去)．当n≥2时，2Sn－1＝a＋an－1，②，①－②得2an＝a＋an－(a＋an－1)，a－a－an－an－1＝0，即(an＋an－1)(an－小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.coman－1－1)＝0， an>0，∴an－an－1＝1，∴{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴an＝n，∴bn＝＝＝－，∴Tn＝－＋－＋…＋－＝－＝1－<1， k>Tn恒成立，∴k≥1，即k的最小值为1．(7)记数列{an}的前n项和为Sn，若不等式a＋≥ma任意等差列对数{an}及任意正整数n都成立，则实数m的最大值为()A．B．C．D．1答案A解析a＋＝a＋2＝a＋2，令(n－1)d＝t，则a＋＝(a1＋2t)2＋(a1＋t)2＝2a＋6ta1＋5t2＝52＋a，当t＝时，取到最小值．即(n－1)d＝，即n＝＋1， 不等式a＋≥ma对任意等差数列{an}及任意正整数n都成立，∴m≤，∴实数m的最大值为．故选A．(8)已知数列{an}的通项公式为an＝·3n－1，n∈N*，[an]表示不超过an的最大整数(如[1.2]＝1)．记bn＝[an]，数列{bn}的前n项和为Tn，若不等式λan＋1>Tn＋5n－对任意的n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是________．答案解析因为an＝·3n－1，所以当n＝1时，a1＝，b1＝0．当n≥2时，3n－1为大于2的奇数，3n－1－1为偶数，所以bn＝，显然b1＝0也满足上式，所以bn＝，n∈N*，所以Tn＝(30＋31＋32＋…＋3n－1)－＝－＝．所以不等式λan＋1>Tn＋5n－，即λ·>＋5n－可化为λ>＋．令f...