§7.7向量法求空间角第七章立体几何与空间向量能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用.考试要求内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练落实主干知识第一部分知识梳理1.面直所成的角异线若面直异线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分是别u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝.|u·v||u||v|2.直平面所成的角线与如，直图线AB平面与α相交于点B，直设线AB平与面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n则sinθ＝|cos〈un〉|＝＝u·n|u||n||u·n||u||n|知识梳理3.平面平面的角与夹如，平面图α平面与β相交，形成四二面角，我个把四二面角中不大于们这个90°的二面角平面称为α平面与β的角夹.若平面α，β的法向量分是别n1和n2，平面则α平面与β的角即向量夹为n1和n2的角或其角夹补.平面设α平面与β的角夹为θ，则cosθ＝|cos〈nn〉|＝|n1·n2||n1||n2|思考辨析判下列是否正确断结论(在括中打请号“√”或“×”)(1)直的方向向量所成的角就是直所成的角两线两条线.()(2)直的方向向量和平面的法向量所成的角就是直平面所成的角线线与.()(3)面直所成角的范是两异线围0，π2，直平面所成角的范是线与围0，π2.()(4)直的方向向量线为u，平面的法向量为n，面角则线θ足满sinθ＝cos〈u，n〉.()××√×教材改编题1.已知向量m，n分是直别线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝，直则线l平面与α所成的角为A.30°B.60°C.120°D.150°－12√由于cos〈m，n〉＝－12，所以〈m，n〉＝120°，所以直线l平面与α所成的角为30°.教材改编题2.已知直线l1的方向向量s1＝(1,0,1)直与线l2的方向向量s2＝(－1,2，－2)，直则线l1和l2所成角的余弦值为A.24B.12C.22D.32√因为s1＝(1,0,1)，s2＝(－1,2，－2)，所以cos〈s1，s2〉＝s1·s2|s1||s2|＝－1－22×3＝－22.所以直线l1和l2所成角的余弦值为22.教材改编题3.平面α的一法向量个为m＝(1,2，－2)，平面β的一法向量个为n＝(2,2,1)，平面则α平面与β角的正切夹值为A.49B.94C.46565D.654√教材改编题平设面α平面与β的角夹为θ0≤θ≤π2，则cosθ＝|cos〈m，n〉|＝|m·n||m||n|＝49，则sinθ＝1－cos2θ＝1－492＝659，所以tanθ＝65949＝654.探究核心题型第二部分题型一异面直线所成的角例1(1)若正四柱棱ABCD－A1B1C1D1的体，积为AB＝1，则直线AB1与CD1所成的角为A.30°B.45°C.60°D.90°3√ 正四柱棱ABCD－A1B1C1D1的体积为3，AB＝1，∴AA1＝3，以D原点，为DA，DC，DD1所在直分线别为x、轴y、轴z，建立如所示的空直角坐系，轴图间标则A(1,0,0)，B1(1,1，3)，C(0,1,0)，D1(0,0，3)，AB1—→＝(0,1，3)，CD1—→＝(0，－1，3)，直设线AB1与CD1所成的角为θ，则cosθ＝|AB1—→·CD1—→||AB1—→||CD1—→|＝24×4＝12.又0°＜θ≤90°，∴θ＝60°，∴直线AB1与CD1所成的角为60°.(2)(2022·杭州模拟)如，已知图圆锥CO的截面△ABC是正三角形，AB是底面圆O的直，点径D在上，且∠AOD＝2∠BOD，面直则异线AD与BC所成角的余弦值为ABA.34B.12C.14D.34√因为∠AOD＝2∠BOD，且∠AOD＋∠BOD＝π，所以∠BOD＝π3，接连CO，则CO⊥平面ABD，以点O坐原点，为标OB，OC所在直分线别为y、轴z建立如所示的空直角坐轴图间标系，设圆O的半径为2，则A(0，－2,0)，B(0,2,0)，C(0,0,23)，D(3，1,0)，AD→＝(3，3,0)，BC→＝(0，－2,23)，面直设异线AD与BC所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈AD→，BC→〉|＝|AD→·BC→||AD→||BC→|＝|－6|23×4＝34，所以面直异线AD与BC所成角的余弦值为34.思维升华用向量法求面直所成的角的一般步异线骤(1)建立空直角坐系间标.(2)用坐表示面直的方向向量标两异线.(3)利用向量的角公式求出向量角的余弦夹夹值.(4)注意面直所成角的范是，即面直所成角两异线围两异线的余弦等于向量角的余弦的值两夹值绝对值.思维升华0，π2跟踪训练1(1)有公共的边△ABC和△BCD均等三角形，且为边所在平面互相...