§7.6空间向量的概念与运算第七章立体几何与空间向量1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.考试要求内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练落实主干知识第一部分知识梳理名称定义空向量间在空中，具有间______和_____的量相等向量方向_____且模_____的向量相反向量度长_____而方向_____的向量共向量线(或平行向量)表示若干空向量的有向段所在的直互相间线线_____或______的向量共面向量平行于___________的向量1.空向量的有念间关概大小方向相同相等相等相反平行重合同一平面个知识梳理2.空向量的有定理间关(1)共向量定理：任意空向量线对两个间a，b(b≠0)，a∥b的充要件条是存在实数λ，使_______.(2)共面向量定理：如果向量两个a，b不共，那向量线么p向量与a，b共面的充要件是存在条______的有序实数对(x，y)，使p＝________.(3)空向量基本定理间如果三向量个a，b，c不共面，那任意一空向量么对个间p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝__________，{a，b，c}叫做空的一基底间个.a＝λb唯一xa＋ybxa＋yb＋zc知识梳理3.空向量的量及算律间数积运(1)量数积非零向量a，b的量数积a·b＝_______________.(2)空向量的坐表示及其用间标应设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).|a||b|cos〈a，b〉知识梳理向量表示坐表示标量数积a·b_________________共线a＝λb(b≠0，λ∈R)________________________垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)__________________模|a|____________角余夹弦值cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝________________________a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝0a21＋a22＋a23a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23a·b|a||b|知识梳理4.空位置系的向量表示间关(1)直的方向向量：如果表示非零向量线a的有向段所在直直线线与线l平行或重合，此向量则称a直为线l的方向向量.(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，向量则a平为面α的法向量.知识梳理(3)空位置系的向量表示间关位置系关向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l⊄αl∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm(λ∈R)平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λm(λ∈R)α⊥βn⊥m⇔n·m＝0常用结论1.三点共：在平面中线A，B，C三点共线⇔OA→＝xOB→＋yOC→(其中x＋y＝1)，O平面任意一点为内.2.四点共面：在空中间P，A，B，C四点共面⇔OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(其中x＋y＋z＝1)，O空中任意一点为间.思考辨析AB→＋BC→＋CD→＋DA→判下列是否正确断结论(在括中打请号“√”或“×”)(1)空中任意非零向量间两个a，b共面.()(2)空中模相等的向量方向相同或相反间两个.()(3)若A，B，C，D是空中任意四点，有间则＝0.()(4)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.()××√√教材改编题1.如，在平行六面体图ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD的交点点为M，设AB→＝a，AD→＝b，AA1—→＝c，下列向量中则与C1M—→相等的向量是A.－12a＋12b＋cB.12a＋12b＋cC.－12a－12b－cD.－12a－12b＋c√C1M—→＝C1C—→＋CM→＝C1C—→＋12(CB→＋CD→)＝A1A—→＋12DA→＋12BA→＝－12a－12b－c.教材改编题A.相交B.平行C.垂直D.不能确定√2.如所示，在正方体图ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝2a3，则MN平面与BB1C1C的位置系是关教材改编题分以别C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z，建立空直角坐轴间标系.因为A1M＝AN＝2a3，所以Ma，23a，a3，N23a，23a，a，所以MN→＝－a3，0，23a，又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，所以C1D1—→＝(0，a,0)，所以MN→·C1D1—→＝0，所以MN→⊥C1D1—→.因...