§7.8空间距离及立体几何中的探索问题第七章立体几何与空间向量1.会求空间中点到直线以及点到平面的距离.2.以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件.考试要求内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练落实主干知识第一部分知识梳理1.点到直的距离线如，已知直图线l的位方向向量单为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设AP→＝a，向量则AP→在直线l上的投影向量AQ→＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝|AP→|2－|AQ→|2＝___________.a2－a·u2知识梳理2.点到平面的距离如，已知平面图α的法向量为n，A是平面α的定点，内P是平面α外一点.点过P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是AP→在直线l上的投影向量QP→的度，因长此PQ＝AP→·n|n|＝AP→·n|n|＝_____.|AP→·n||n|思考辨析判下列是否正确断结论(在括中打请号“√”或“×”)(1)平面α上不共的三点到平面线β的距离相等，则α∥β.()(2)点到直的距离也就是点直上任一点的度线该与线连线长.()(3)直线l平行于平面α，直则线l上各点到平面α的距离相等.()(4)直线l上点到平面两α的距离相等，则l平行于平面α.()×√××教材改编题A.2B.2C.22D.3221.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则A1A到平面B1D1DB的距离为√由正方体性可知，质A1A∥平面B1D1DB，A1A到平面B1D1DB的距离就是点A1到平面B1D1DB的距离，接连A1C1，交B1D1于O1(略图)，A1O1的即所求，由意可得长为题A1O1＝12A1C1＝2.教材改编题2.已知直线l点经过A(2,3,1)且向量n＝22，0，22为l的一位方个单向向量，点则P(4,3,2)到l的距离为_______.22 PA→＝(－2,0，－1)，n＝22，0，22为l的一个单位方向向量，∴点P到l的距离d＝|PA→|2－PA→·n2＝5－－2－222＝22.教材改编题3.正方体设ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点则D1到平面A1BD的距离是______.233教材改编题所以D1A1—→＝(2,0,0)，DA1—→＝(2,0,2)，DB→＝(2,2,0).如，建立空直角坐系，图间标则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，平面设A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·DA1—→＝0，n·DB→＝0，即2x＋2z＝0，2x＋2y＝0，令x＝1，则n＝(1，－1，－1)，所以点D1到平面A1BD的距离d＝|D1A1—→·n||n|＝233.探究核心题型第二部分题型一空间距离例1(1)(2023·沙模长拟)空中有三点间P(1，－2，－2)，M(2，－3,1)，N(3，－2,2)，点则P到直线MN的距离为A.22B.23C.3D.25√因为MN→＝(1,1,1)，所以MN→的一位方向向量个单为u＝33(1,1,1).因为PM→＝(1，－1,3)，故|PM→|＝12＋－12＋32＝11，PM→·u＝33(1－1＋3)＝3，所以点P到直线MN的距离为PM→2－PM→·u2＝11－3＝22.(2)(2022·宁模济拟)如，在三柱图棱ABC－A1B1C1中，AB⊥平面BCC1B1，BC＝12AB＝12AA1＝2，BC1＝23，M段为线AB上的点动.①明：证BC1⊥CM；因为AB⊥平面BB1C1C，C1B⊂平面BB1C1C，所以AB⊥C1B，因为AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，所以C1B⊥平面ABC.又因为CM⊂平面ABC，所以C1B⊥CM.在△BCC1中，BC＝2，BC1＝23，CC1＝AA1＝4，所以BC2＋BC21＝CC21，所以CB⊥C1B.②若E为A1C1的中点，求点A1到平面BCE的距离.由①知，AB⊥C1B，BC⊥C1B，AB⊥BC，以B原点，建立如所示的空直角坐系为图间标.则B(0,0,0)，C(2,0,0)，C1(0,23，0)，A1(－2，23，4)，E(－1,23，2)，BC→＝(2,0,0),BE→＝(－1,23，2)，平面设BCE的法向量为n＝(x，y，z)，则n·BC→＝0，n·BE→＝0，即2x＝0，－x＋23y＋2z＝0.令y＝3，则n＝(0，3，－3).又因为A1C—→＝(4，－23，－4)，故点A1到平面BCE的距离d＝|0×4＋－23×3＋－4×－3|23＝3.思维升华(1)点到直的距离线.思维升华①点设过P的直线l的位方向向量单为n，A直为线l外一点，点A到直线l的距离d＝|PA→|2－PA→·n2；②若能求出点在直上的射影坐，可以直接利用点距离公式求距离．线标两间(2)求点面距一般有以下三方法．种①作点到面的垂，求点到垂足的距离；线②等体...