§8.6双曲线第八章直线和圆、圆锥曲线1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).3.了解双曲线的简单应用.考试要求内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练落实主干知识第一部分知识梳理1.曲的定双线义把平面定点内与两个F1，F2的距离的差的________等于非零常数(______|F1F2|)的点的迹叫做曲轨双线.定点叫做曲的这两个双线______，焦两点的距离叫做曲的间双线______.绝对值小于焦点焦距知识梳理准方程标＝1(a>0，b>0)＝1(a>0，b>0)形图性质焦点_____________________________________焦距___________2.曲的准方程和几何性双线标简单质x2a2－y2b2y2a2－x2b2F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)|F1F2|＝2c知识梳理性质范围_______或______，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R性对称：对称轴_______；中心：对称______点顶_____________________________________轴：段实轴线_______，：长____；：段虚轴线B1B2，：长_____，半：实轴长___，半：虚轴长___近渐线___________________x≤－ax≥a坐标轴原点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)A1A22a2baby＝±baxy＝±abx知识梳理性质离心率e＝∈_________a，b，c的关系c2＝_______(c>a>0，c>b>0)ca(1，＋∞)a2＋b2常用结论1.曲的焦点到其近的距离双线渐线为b.2.若P是曲右支上一点，双线F1，F2分曲的左、右焦点，别为双线则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.3.同支的焦点弦中最短的通为径(焦点且垂直于的弦过实轴)，其长为2b2a.4.若P是曲上不同于端点的任意一点，双线实轴两F1，F2分曲别为双线的左、右焦点，则＝b2tanθ2，其中θ为∠F1PF2.12PFFS△常用结论5.曲与双线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)有共同近的方程可表示渐线为x2a2－y2b2＝t(t≠0).思考辨析(2)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x上的曲轴双线.()(3)曲双线x2m2－y2n2＝1(m>0，n>0)的近方程是渐线xm±yn＝0.()(4)等曲的近互相垂直，离心率等于轴双线渐线2.()判下列是否正确断结论(在括中打请号“√”或“×”)(1)平面到点内F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的等于绝对值8的点的迹是曲轨双线.()√××√教材改编题1.已知曲线C的方程为x2k＋1＋y25－k＝1(k∈R)，若曲线C是焦点在y上轴的曲，双线则实数k的取范是值围A.－1<k<5B.k>5C.k<－1D.k≠－1或5√则k＋1<0，5－k>0，解得k<－1.若曲线C是焦点在y上的曲，轴双线教材改编题A.y＝±12xB.y＝±2xC.y＝±22xD.y＝±2x√依意知，曲题双线y212－x2＝1的焦点在y上，半轴实轴长a＝22，虚半轴长b＝1，所以曲双线2y2－x2＝1的近方程是渐线y＝±22x.2.曲双线2y2－x2＝1的近方程是渐线教材改编题3.设P是曲双线x216－y220＝1上一点，F1，F2分是曲的左、右焦点，别双线若|PF1|＝9，则|PF2|＝________.17根据曲的定得双线义||PF1|－|PF2||＝8，因为|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.探究核心题型第二部分A.x24－y25＝1(x>2)B.x29－y25＝1(x>3)C.x29＋y25＝1(0<x<2)D.x29＋y24＝1(0<x<3)例1(1)(2022·洛模阳拟)在平面直角坐系中，已知标△ABC的点顶A(－3,0)，B(3,0)，其切心在直内圆圆线x＝2上，点则顶C的迹方轨程为题型一双曲线的定义及应用√如，图设△ABC的切点分与圆别为D，E，F，有则|AD|＝|AE|＝5，|BF|＝|BE|＝1，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝5－1＝4.根据曲定，所求迹是以双线义轨A，B焦点，为实轴长为4的曲的右支双线(右点除外顶)，即c＝3，a＝2，又c2＝a2＋b2，所以b2＝5，所以点顶C的迹方程轨为x24－y25＝1(x>2).(2)已知F1，F2曲为双线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为______.23不妨点设P在曲的右支上，双线则|PF1|－|PF2|＝2a＝22，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝12，∴|PF1|·|PF2|＝8，∴＝12|PF1|·|PF2|·sin60°＝23.12FPFS△思维升华在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，合结||PF1|－|PF2||＝2a，用平方的方法，建立运与|PF1|·|PF2|的系联.思维升华A.x2－y28＝1B.x28－y2＝1C.x2－y28＝1(x≤－1)D.x2－y2...