小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题10数列不等式的放缩问题目录01先求和后放缩...................................................................................................................................102裂项放缩...........................................................................................................................................503等比放缩...........................................................................................................................................904型不等式的证明...................................................................................................1105型不等式的证明...................................................................................................2006型不等式的证明.........................................................................................................2407型不等式的证明.........................................................................................................3201先求和后放缩1．（2023·山东菏泽·高三菏泽一中校考阶段练习）已知数列的前项和为，且______小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com请在是公差为的等差数列；是公比为的等比数列，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.(1)求的通项公式(2)在与之间插入个实数，使这个数依次组成公差为的等差数列，数列的前项和，证明：【解析】（1）若选：当时，，所以，故，因为所以，则时，累加得，故，当时，满足上式，故.若选，数列是公差为的等差数列，首项为，故，则，两式相减得，则，则，即，当时，满足上式，故.若选，数列是公比为的等比数列，首项为，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com故，则时，累加得，故，当时，满足上式，故.（2）证明：由于，所以所以，故，，得，即.2．（2023·吉林白城·高三校考阶段练习）已知公差不为零的等差数列的前项和为，且成等比数列.(1)求的通项公式；(2)若，数列的前项和为，证明：.【解析】（1）设的公差为，因为成等比数列，所以，即，因为，所以，又，所以，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以，所以.（2）由（1）得，，所以，所以，又，所以.3．（2023·天津·高三校联考期中）已知数列的前n项和，数列满足：，．(1)证明：是等比数列；(2)设数列的前项和为，且，求(3)设数列满足：．证明：．【解析】（1）由，得，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，即．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（2）当时，有，当时，，显然也满足，故，结合，所以=，故.（3）当n为奇数时，，,当n为偶数时，,，设，则，两式相减得，得，所以，所以，得证．4．（2023·陕西西安·高三西安市第三中学校考期中）设各项均为正数的数列的前项和为，满足.(1)求数列的通项公式；(2)记，数列的前项和为.证明：对一切正整数，.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【解析】（1）因为，即，当时，解得或（舍去），当时，所以，即，即，则，因为，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以数列的通项公式是（2）由（1）可得，所以，，所以，所以，因为，所以.02裂项放缩小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com5．（2023·贵州黔东南·高三天柱民族中学校联考阶段练习）已知正项数列的前项和为，且.(1)求；(2)设，数列的前项和为，证明：.【解析】（1）当时，，即，由数列为正项数列可知，，又，即数列是首项为1，公差为1的等差数列，即，则，当时，，当时，成立，所以（2）由（1）可知，，则，当时，，成立，，成立，当时，，即.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com...