小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com平面向量的数量积及应用目录题型一：平面向量数量积的运算.................................................................................................4题型二：求平面向量的模............................................................................................................6题型三：向量积求范围................................................................................................................9题型四：平面向量中的投影.......................................................................................................16题型五：求平面向量的夹角.......................................................................................................18题型六：平面向量的垂直问题...................................................................................................20题型七：平面向量与三角函数...................................................................................................221．向量数量积的定义(1)向量的夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b(如图所示)，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．(2)向量的平行与垂直：当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向；如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b.(3)向量的数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.知识点总结小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com2．向量的投影(1)定义：如图，设a，b是两个非零向量，AB＝a，CD＝b，作如下的变换：过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，则称上述变换为向量a向向量b投影，A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量．(2)计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是|a|cosθe.3．向量数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则(1)a·e＝e·a＝|a|cosθ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.(4)|a·b|≤|a||b|.4．向量数量积运算的运算律对于向量a，b，c和实数λ，有(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5．数量积的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)a·b＝x1x2＋y1y2；a2＝x＋y；|a|＝.(2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(3)|x1x2＋y1y2|≤.(4)设θ是a与b的夹角，则cosθ＝＝.常用结论与知识拓展1．数量积的有关结论(1)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(3)a2＋b2＝0⇔a＝0且b＝0.2．有关向量夹角的两个结论已知向量a，b.(1)若a与b的角角，夹为锐则a·b>0；若a·b>0，则a与b的角角或夹为锐0.(2)若a与b的角角，夹为钝则a·b<0；若a·b<0，则a与b的角角或夹为钝π.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com题型一：平面向量数量积的运算【要点讲解】(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)利用坐标运算：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．(3)灵活运用平面向量数量积的几何意义．【例1】若向量，且，则＝（）A．﹣26B．﹣13C．26D．13【变式训练1】在△ABC中，AB＝2，AC＝3，，M是BC中点，则＝（）A．B．5C．6D．7【变式训练2】已知是边长为1的等边三角形，点、分别是边、的中点，连接并延长到点，使得，则的值为A．B．C．D．【变式训练3】如图，在平行四边形中，已知，，，，则的值是．例题精讲小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【变式训练4】在等腰梯形中，已知，，，，...